Teorema di limitatezza: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una delle materie scientifiche più complesse da studiare e se siamo degli appassionati di questa particolare disciplina per riuscire a comprendere in maniera più semplice i vari argomenti trattati, potremmo provare a consultare le moltissime guide presenti su internet. Sul web, infatti, ogni potremo trovare tantissime guide che trattano i vari argomenti di matematica, redatte da degli esperti di questo settore, che ci illustreranno nella maniera più semplice e completa possibile l'argomento di nostro interesse. In questo modo riuscire a studiare questa complessa disciplina risulterà molto più semplice, poiché in pochissimo tempo e con molta facilità, potremo ottenere tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno. Nei passi successivi, in particolare, vedremo la dimostrazione del teorema di limitatezza.

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Occorrente

  • Leggere con attenzione la guida.
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Definizioni

Per poter comprendere al meglio enunciati e dimostrazioni, si possono richiamare le definizioni di limite di successione e di funzione, supponendo quelle di intervallo, aperto o chiuso, intorno e punto di accumulazione. Per quando riguarda l'enunciato, siano X= uno spazio di Banach e Y= uno spazio normato. F= una famiglia di operatori lineari continui, ossia limitati da X in Y, tale che per tutti gli x in X risulti: sup { ||Tx||y. Il teorema può essere generalizzato perché l'ambiente naturale è uno spazio botte, dove vale una versione generalizzata del teorema.

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Dimostrazione del teorema

Invece, per quanto riguarda la dimostrazione, essa parte dalla definizione di limite di una successione. Infatti, per ogni si può definire l'insieme illustrato nella figura. Nel caso in cui si tratta di un'ipotesi, esiste un indice naturale: siffatto che ||Tx|| ≤ n, e per ogni T Є F. È importante osservare che per la continuità degli elementi T Є F, tutti gli insieme sono chiusi.

Continua la lettura
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Limitatezza locale

Quando parliamo di funzioni, invece, si fa riferimento ad un caso di limitatezza locale, in quanto è una funzione che può avere più limiti su tutta la retta dei numeri reali. L'enunciato afferma che: data una funzione F, definita da A a R, essendo A un intervallo aperto di numeri reali che ha un limite x0, esiste W, intorno di x0, tale che: F è un insieme limitato di R. In parole molto più semplici, esiste un numero L>0, tale che |f (x)|A. La dimostrazione è analoga a quella delle successioni, perché partendo dalla definizione di limite per le funzioni si arriva a dire che L-c. Il "Teorema di limitatezza" è molto complesso da risolvere, specialmente se non si è molto predisposti al ragionamento, ma sopratutto allo studio della matematica.

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