Teorema di Kakutani: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica è una materia piuttosto complessa e ricca di nozioni, molte volte di difficile comprensione e apprendimento. Per questo è necessario partire da delle buone basi per poter capire argomenti più complessi. Esistono inoltre moltissimi teoremi che vanno compresi ma che non sempre è facile capire. Tra questi possiamo trovare il teorema di Kukutani. In analisi matematica il teorema di Kakutani è un teorema di punto fisso. Esso fornisce le condizioni sufficienti per una funzione a più valori definita su uno spazio euclideo convesso e compatto con un punto fisso, ovvero un punto mappato nell'insieme che lo contiene. Tale teorema rappresenta una generalizzazione del teorema di punto fisso di Brouwer. Quest'ultimo fornisce la dimostrazione all'esistenza di punti fissi per funzioni continue definite su sottoinsiemi compatti e convessi di spazi euclidei. Il teorema di Kakutani estende Brower alle funzioni a più valori. Ecco la dimostrazione del Teorema di Kakutani, attraverso pochi e semplici passaggi daremo utili suggerimenti in merito che vi aiuteranno a capire più velocemente.

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Storia del teorema

Il teorema è stato sviluppato da Shizuo Kakutani nel 1941 ed è stato notoriamente usato da John Nash nella sua descrizione degli equilibri di Nash. Si è successivamente trovata una vasta applicazione nella teoria dei giochi ed in campo economico.
Sia X⊂R un insieme chiuso, limitato e convesso. Per ogni x∈X sia F (x), un sottoinsieme non vuoto e convesso di X.

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Dimostrazione del teorema

Dimostrazione
Come per la dimostrazione del teorema Brouwer, si suppone che X abbia vertici v0, v1, ..., vn. Formando k partizioni di X e definendo una f (k) come segue:
se x∈{v^0, v^1,..., v^n}, sia f^k (x) = y con y∈F (x)
se x è un qualsiasi altro punto della partizione, si definisce f^k (x) per interpolazione dai valori di f^k ai vertici. In altre parole, se x=∑θ(j) v^j, si definisce f^k (x) = ∑θ(j) f^k (vj)
Si può notare che se un punto giace su una faccia comune alle due partizioni, le definizioni sono coerenti. Quindi f^k: X→ X in modo continuo, quindi per il teorema Brouder, ogni f^k ha un punto fisso che chiamiamo x^k. Ora, supponiamo che x^k sta nella partizione dell k-esima suddivisione v^k0, v^k2, ..., v^kn, con θ(0)^k, θ(1)^k, ..., θ(n)^k le coordinate baricentriche della partizione. Quindi, il fatto che x^k=f^k (x^k), implica che: x^k=f^k (x^k) = ∑θ(j)^k y^(kj) con y^(kj) ∈F (x^(k) j), con j= 0,1, ..., n
Dato che X è compatto (poiché è chiuso e limitato) le sequenze {x^(k)}∞,{θ(j)^k}∞, e {y (j)^(k)}∞, j= 0,1, ..., n, Possono, dopo essere eventualente rinumerate e convergere ai punti x', θj, e y^j con j= 0, 1, ..., n.

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Le strategie nel teorema di Kakutani

La funzione φ (x), restituisce una nuova ennupla in cui la strategia di ogni giocatore è la migliore risposta alle strategie degli altri giocatori in x. Poiché non vi può essere un numero di risposte che sono altrettanto buone, φ è a più valori piuttosto che a valore singolo. L'equilibrio di Nash del gioco è definito come un punto fisso di φ, ovvero una ennupla di strategie in cui la strategia di ogni giocatore è migliore rispetto alle strategie degli altri giocatori. Il teorema di Kakutani assicura che questo punto fisso esiste.
Come tutte le cose in matematica, qualsiasi argomento per essere appreso e metabolizzato necessita di studio e pratica. Eseguire esercizi dopo aver studiato la teoria è il modo migliore per velocizzare l'apprendimento di una materia. Vi auguro quindi buono studio.
Alla prossima.

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