Teorema di Heine-Cantor: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica e la fisica non sono tra le materie particolarmente apprezzate dai ragazzi. La difficoltà sta nel fatto che i concetti sono tutti legati tra di essi, per cui è necessario comprenderli appieno per non avere difficoltà negli studi a seguire. Ma una buona preparazione a livello matematico-scientifico, è fondamentale per intraprendere una carriera universitaria degna di nota. Quindi, per semplificare la la vita degli studenti, verranno proposte una serie di dimostrazioni in modo più facile e discorsivo possibile. In questa guida illustreremo il Teorema di Heine-Cantor e la sua dimostrazione. Questo teorema serve a definire una proprietà degli insiemi compatti. Vediamo allora, attraverso i passi della seguente guida, una breve dimostrazione del Teorema di Heine-Cantor.

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Condizioni necessarie per la continuità uniforme

Prima di dimostrare il teorema, abbiamo bisogno di alcune condizioni necessarie per la continuità uniforme. Innanzitutto, quando abbiamo una funzione uniformemente continua definita tra un insieme X contenuto in R, allora f è limitato in ciascun sottoinsieme limitato A. Questo significa che, in alcuni casi particolari, una funzione che ha degli asintoti verticali non è uniformemente continua: ad esempio, la funzione f (x)=1/x non è uniformemente continua in (0,1). Se invece abbiamo un intervallo X contenuto in R ed una funzione f che lega i due insiemi mediante una funzione uniformemente continua, allora esistono alcuni valori "a" e "b", tali che |f (x)| <=a |x| +b per ogni x appartenente a X.

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Dimostrazione

A questo punto possiamo passare alla dimostrazione vera e propria: supponiamo che f non sia uniformemente continua in K. Questo significa che esiste un ε0>0 tale che: per ogni δ > 0 esiste un x (δ), y (δ) appartenenti a K tali che: |x (δ)-y (δ)|<δ e |f (x (δ))-f (y (δ))|=>ε0. Scegliendo δ=1/(n+1), con "n" appartenete all'insieme dei numeri naturali, scrivendo x (n) e y (n) si ottengono due successioni {x (n)} e {y (n)} a valori in K tali che: |f (x (n))-f (y (n))|=>ε0 e |x (n)-y (n)|<1/(n+1).

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Estrazione della sotto-successione

Infine, per la compattezza di K, è possibile estrarre da {x (n)} una sotto-successione {x (k (n))} che converge in un punto x che appartiene a K, tale che x (k (n)) tende a x per n che tende a +∞. Per la continuità di f nel punto x, f (x (k (n))) tende a f (x) (stessa cosa vale per f (k (y (n)))) per n che tende a +∞, quindi f (x (k (n)))-f (k (y (n))) tende a 0 per n che tende a +∞. Questo contraddice l'affermazione precedente e dimostra di fatto il teorema, il quale conferma l'importanza del concetto di compattezza nell'analisi matematica.

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