Teorema di Gauss-Bonnet: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il Teorema di Gauss-Bonnet è un importante teorema di geometria differenziale. Stabilisce un fondamentale asserto sulle superfici, collegando la propria geometria (nel senso di curvatura), alla loro topologia (nel senso della caratteristica di Eulero). Prende il nome da Carl Friedrich Gauss, che aveva ideato una versione del teorema, ma senza mai pubblicarlo, e Pierre Ossian Bonnet, che ne pubblicò un caso speciale nel 1848. Vediamone la definizione e la dimostrazione.

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La caratteristica di Eulero

Si noti che per le superfici compatte orientate senza bordo, la caratteristica di Eulero uguale a 2-2g, dove g è il tipo di superficie; qualsiasi superficie compatta orientata senza contorno è topologicamente equivalente a una sfera con delle maniglie e g rappresenta il numero di maniglie. Se si piega e si deforma la superficie M, la sua caratteristica di Eulero, essendo un invariante topologico, non cambierà.

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l'integrale totale

Il teorema afferma che sorprendentemente l'integrale totale di tutte le curvature rimarrà la stesso, non importa la deformazione subita. Si consideri ad esempio un disco unitario aperto, per una superficie di Riemann non compatta senza bordo, con curvatura 0 e con caratteristica diEulero pari ad 1: la formula di Gauss-Bonnet non funziona. Vale però per un disco unitario compatto e chiuso, con anche caratteristica di Eulero pari ad 1, a causa del limite solidale 2π.

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L'integrale totale

È possibile anche costruire un toro identificando lati opposti di un quadrato: nel tal caso la metrica Riemanniana sul toro è piana ed ha curvatura costante nulla, con conseguente curvatura totale pari a 0. Non è possibile specificare una metrica Riemanniana sul toro con curvatura gaussiana positiva o negativa ovunque. Se il toro ha l'ordinaria metrica Riemanniana inclusa in R3, quindi l'interno ha una curvatura gaussiana negativa; l'esterno della curvatura gaussiana è positivo e la curvatura totale è nulla. Supponiamo che M sia una varietà di Riemann compatta a due dimensioni con contorno ∂M. Sia K la curvatura gaussiana di M e sia Kg la curvatura geodetica di ∂M. Allora l'integrale esteso ad M di K dA + integrale esteso a ∂M di Kg ds è uguale a 2πχ(M), dove dA è l'elemento di area della superficie e ds è l'elemento di linea lungo il contorno di M. In questo caso, χ(M) è la caratteristica di Eulero M. Se il contorno ∂M è a tratti regolari, interpretiamo l'integrale esteso a ∂M di Kg ds come la somma dei corrispondenti integrali lungo le parti regolari del bordo, più la somma degli angoli con cui le parti regolari si rivolgono agli angoli del contorno.

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