Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Questa guida dal titolo "Teorema di Eulero (aritmetica modulare): dimostrazione" si prefigge di dimostrare cos'è. Il Teorema di Eulero può essere considerato in alcuni casi la conseguenza del teorema di Lagrange, che spiegherò in modo dettagliato nei vari passi. Possono essere usati anche i gruppi abeliani finiti con una formula leggermente più complessa e che ho inserito nella guida.

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Occorrente

  • allenarsi, studiando
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Teorema di Eulero spiegazione

Il Teorema di Eulero (denominato anche Fermat- Eulero) ha la funzione di calcolare l'inverso di un numero in un'aritmetica finita. Nel 1736 nasce grazie alla generalizzazione, da parte di Eulero, del piccolo Teorema di Fermet (affermava che se z è un numero primo, allora per ogni intero a avremo: az = a (mod z). Tutto ciò significava che se si prendeva un qualunque numero a, lo si moltiplicava per se stesso z volte e si sottraeva a, il risultato risultava divisibile per z. Utilizzando la forma equivalente si aveva: se z è primo e a è un intero coprimo con z allora az-1=1 (mod z)) ed è per questo che viene denominato anche Teorema di Fermat-Eulero. Questo teorema afferma che se a è coprimo rispetto ad n ed n è un intero positivo, allora avremo: aΦ(n)=1 modn.. Dove il simbolo = indica la relazione di congruenza e Φ(n) ci indica la funzione di phi di Eulero. Altro esempio se m è coprimo di N ed N è un intero positivo allora avremo: mΦ(N)=1 modN.

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Dimostrazione che il teorema di Eulero può essere considerato una conseguenza del teorema di Lagrange

Come anticipavo nell'introduzione, il teorema di Eulero può esser considerato una conseguenza del teorema di Lagrange. Da qui avremo la dimostrazione, infatti, che se a è primo con n allora appartiene al gruppo moltiplicativo Zn che ha ordine Φ(n). Per il teorema di Lagrange l'ordine di a è un divisore di Φ(n) e quindi avremo: a ord(a)=1 modn e soprattutto aΦ(n)= 1 modn. Oppure se vogliamo cambiare le lettere possiamo affermare che se m è primo con N allora appartiene al gruppo moltiplicativo di ZN che ha ordine Φ(N). L'ordine di m è un divisore di Φ(N) e quindi avremo m ord (m)=1 modN e soprattutto mΦ(N)=1 modN. Con questo secondo esempio col cambio lettere può essere ancor più chiaro.

Continua la lettura
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Teorema applicato ai gruppi abeliani finiti

Adesso vi mostrerò il teorema applicato ai gruppi abeliani finiti. Una dimostrazione meno diretta si ha con la teoria dei gruppi in cui, l'insieme S1 delle classi di resto modulo n è un gruppo abelico sotto la moltiplicazione ed ha ordine Φ(n). Avremo am= 1 modn e se Φ(n) =mr allora avremo aΦ(n)=(am) r = 1r modn01modn. Questo teorema può essere anche applicato a tutti i gruppi abeliani finiti senza utilizzare il teorema di Lagrange.

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