Teorema di Caccioppoli: dimostrazione

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Introduzione

Il Teorema di Caccioppoli è uno dei teoremi più importanti nell'ambito dei cosiddetti studi metrici. È noto anche come Teorema delle contrazioni o Teorema del punto fisso, anche se è ancora più giusto chiamarlo Teorema di Barnach-Caccioppoli, dai nomi dei due studiosi (Caccioppoli in foto) che lo formularono per la prima volta, tra il 1922 e il 1931. Vediamo, proseguendo nella lettura, di definirlo meglio e di vederne la dimostrazione.

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Prima di enunciare il Teorema di Caccioppoli bisogna avere ben chiara la definizione di un altro concetto contenuto all'interno del teorema stesso, ovvero quello di "spazio metrico completo". Si definisce come tale (e si indica generalmente con una lettera dell'alfabeto maiuscola) se ciasuna successione di Cauchy in esso converge ad un suo punto.
Il Teorema di Caccioppoli, invece, afferma sostanzialmente che all'interno di uno spazio metrico completo, per ogni contrazione ci sarà sempre uno e un solo punto fisso per il quale si avrà "f (x)=x".
Vediamone la dimostrazione.

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Iniziamo considerando la scrittura "δ≤ Min {a, 1/L, b/M}", all'interno della quale il valore L rappresenta la cosiddetta costante di Lipschitz, il valore M rappresenta, invece, quel valore massimale che la funzione del tipo |f (x, y)| può arrivare ad assumere all'interno dell'insieme IxI. Se ci soffermiamo a guardare quella che è la definizione di questo insieme, ci accorgiamo quasi subito che si tratta di una tipologia di insieme che possiamo definire sia chiuso che compatto, perché limitato in IRxIR^n.
Mettendo in gioco un altro teorema, ovvero quello di Weierstrass, potremo constatare come la funzione definibile in |f (x, y)| ammette, in realtà, un massimo, che potremo andare a chiamare M in IxJ.

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Adesso che abbiamo terminato di definire questo valore, andiamo a prendere in considerazione il seguente intervallo "Iδ == [x0-δ, x0+δ]", e andiamo, quindi, a considerare quello che è lo spazio che intercorre nelle due funzioni continue del tipo (X, || *|| ∞). Possiamo subito trarre un'affermazione, ovvero che si tratta di uno spazio sul quale vi è la specifica definizione della metrica. Possiamo, quindi, scrivere l'espressione come "|| f ||∞ == Sup{|f (x)|: x ∈ D}" dove la componente nota come D rappresenta il dominio della funzione specificata.
Per proseguire con la nostra dimostrazione, andiamo a considerare il sottoinsieme così identificato, "B== {g∈ X : ||g-y0||≤b}". Esso si compone con tutte quelle funzioni che si dimostrano continue e che, allo stesso tempo, sono vicine alla funzione costante "y0".

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A questo punto possiamo scrivere "F: B---->B tale che F (y)== y∼ y0+∫f (t, y (t)) dt" dove possiamo affermare con assoluta certezza che il valore "y∼" è ben definito pechè y è continua. Osservando semplicemente il fatto che, ovviamente, "y∼ == y0+∫f (t, y (t)) dt" allora è implicito scrivere anche "y∼ - y0 == ∫f (t, y (t)) dt".
Di conseguenza, riferendoci ai moduli, avremo la seguente espressione "|y∼ - y0| == | ∫f (t, y (t)) dt |≤ | ∫ | f (t, y (t))| dt |" e, al contempo, potremo dimostrare che per ogni "x" che appartiene a "Iδ" questa disuguaglianza (perché di tale operazione si tratta) esiste, proprio grazie alla proprietà dei moduli che trova applicazione sugli integrali. Avremo "| ∫f (x) dx |≤ | ∫ |f (x)| dx |" per ogni f (x) integrabile.
In base al teorema che abbiamo citato all'inizio di questa dimostrazione, si aveva che "| f (t, y (t))|≤M" e, quindi, "|y∼ - y0| == | ∫f (t, y (t)) dt |≤ | ∫ | f (t, y (t))| dt |≤| ∫Mdt |== M| t |"da valutare tra x0 e x.

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Ma dal momento che "x" risulta essere appartenente a "Iδ", e avremo quindi "|x-x0| ≤δ".
Inoltre otterremo anche "Mδ≤M*b/M == b", visto e considerato il fatto che "δ≤Min{a,1/L, b/M}". In pratica, in questa maniera, si è giunti a dimostrare che la distanza effettiva che intercorre tra "y∼" e "y0" si rivela essere minore o uguale a "b" e di conseguentemente si avrà che "y∼" appartiene allo stesso "B". Ecco, quindi, dimostrato il teorema di Caccioppoli.

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