Teorema di Bolyai-Gerwien: dimostrazione

tramite: O2O
Difficoltà: media
16

Introduzione

Il Teorema di Bolyai-Gerwien è un teorema di geometria euclidea dimostrato, indipendentemente l'uno dall'altro, nel 1832 dal matematico ungherese Farkas Bolyai e nel 1833 dall'appassionato di matematica tedesco Paul Gerwin. Il problema che entrambi matematici si sono posti è stato il seguente: se due poligoni scomponibili nello stesso numero di parti congruenti sono equivalenti, sarà vero il contrario? La risposta che Bolay e Gerwin hanno dato quasi contemporaneamente è stata affermativa. Il loro teorema, infatti, dice che due poligoni equivalenti, cioè aventi la stessa area, sono sempre equiscomponibili. Eccone la dimostrazione in tre passi.

26

Occorrente

  • carta, matita, squadrette, colori
36

La dimostrazione si basa sull'idea generale, secondo la quale se due poligoni equivalenti sono equiscomponibili con uno stesso rettangolo, lo sono anche tra di loro. Ogni poligono può essere scomposto in un numero finito di triangoli e di conseguenza è sufficiente dimostrare il teorema per questa figura geometrica. Il primo passo in tale direzione è equiscomporre un triangolo qualunque con un parallelogramma. Dato un triangolo ABC indicate con M il punto medio del lato CB. Da M tracciate la parallela ME alla base. Prolungate ME fino a incontrare nel punto D la parallela tracciata dal vertice C al lato AC. Dalla figura è evidente che i triangoli CEM e BDM sono uguali, in quanto per traslazione e rotazione sono perfettamente sovrapponibili. Così è dimostrato che un triangolo è equicomponibile con un parallelogramma.

46

Il secondo passo della dimostrazione consiste nell'equiscomporre un parallelogramma con un rettangolo. Dato per esempio il parallelogramma ABCD è sufficiente tracciare le altezze relative alla base AB e spostare il triangolo AED come in figura. Ma un rettangolo può essere equiscomposto con un altro rettangolo avente una delle due dimensioni doppia e l'altra dimezzata rispetto al primo rettangolo. Basta traslare a metà del rettangolo come in figura. Così è dimostrato, in modo evidente, che un parallelogramma è sempre equiscomponibile con un rettangolo e quest'ultimo con un altro rettangolo avente le dimensioni comprese tra 1/2 e 1.

Continua la lettura
56

L'ultimo passo è quello di dimostrare che qualunque triangolo è equiscomponibile con un rettangolo avente una dimensione uguale a 1. Per raggiungere questo scopo partite dal rettangolo ABCD ed equiscomponetelo con il rettangolo AEFG avente la base AE=1, tracciando la diagonale DE e spostando i triangoli, sempre per rotazione e traslazione, come in figura. Il Teorema di Bolyai-Gerwien è così dimostrato.

66

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per la dimostrazione si può utilizzare il software Geogebra, che consente non solo di disegnare forme geometriche, ma anche di visualizzare traslazioni e rotazioni.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Teorema di Talete: dimostrazione

Il Teorema di Talete è comunemente attribuito al filosofo e matematico greco Talete di Mileto (640 circa a. C. – 547 circa a. C.). Questo teorema è relativo alla proporzionalità che si viene a creare in un fascio di rette parallele (rette equidistanti...
Università e Master

Teorema del guscio sferico: dimostrazione

Il teorema del guscio sferico, o semplicemente teorema del guscio, rappresenta una semplificazione dello studio della gravitazione di corpi con simmetria sferica. >Fu formulato da Isaac Newton (matematico, fisico, filosofo naturale e astronomo inglese)...
Università e Master

Teorema di Desargues: dimostrazione

Come avrete già potuto comprendere leggendovi il titolo che accompagna la nostra guida, ora ci concentreremo su un tema davvero importante. La materia che tratteremo sarà la geometria analitica, in quanto proveremo, nei prossimi tre passi, a spiegare...
Università e Master

Teorema di Dirichlet: dimostrazione

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fu un matematico tedesco. Nacque a Duren, dove il padre lavorava come direttore all'Ufficio Postale. Il giovane Dirichlet studiò in Germania e in Francia, dove ebbe modo di conoscere molti dei più celebri matematici...
Elementari e Medie

Come dimostrare il primo teorema di Euclide

In geometria, uno degli argomenti più importanti è il primo teorema di Euclide. Esso può servire per svolgere numerosi problemi ed esercizi, nelle scuole elementari, medie e superiori. Indipendentemente dalla definizione, come dimostrare il primo teorema...
Università e Master

Teorema di Krasnoselskii: dimostrazione

Il Teorema di Krasnoselskii è uno dei teoremi di punto fisso che sono uno dei principali strumenti dell'analisi matematica non lineare. Questi teoremi hanno una miriade di applicazioni pratiche. I suoi risultati riguardano un operatore singolo; ma le...
Elementari e Medie

Teorema di Pitagora: dimostrazione e funzioni

Fin dalle elementare, con il primo approccio alla geometria, ci viene illustrato il Teorema di Pitagora, uno dei più antichi teoremi che tutt'oggi conosciamo. Riproposto in ogni scuola dopo le primarie, sia alle medie che alle superiori, rappresenta...
Università e Master

Teorema di Green: dimostrazione

Il Teorema di Green fa parte di quel corollario di tematiche inerenti all'analisi matematica. Quando si studia questo teorema, è opportuno conoscere in maniera piuttosto approfondita l'ambiente degli integrali e le varie metodologie relative al calcolo...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.