Proprietà grafiche delle funzioni pari, dispari e periodiche

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Le funzioni matematiche sono caratterizzate da diverse proprietà, utili per descrivere in modo esauriente il comportamento di una data funzione. Una funzione matematica non è altro che una relazione tra due insiemi, uno definito dominio (insieme X) e l'altro definito codominio (insieme Y), che lega ciascun valore dell'insieme X ad uno ed un solo valore dell'insieme Y. Per individuare qual è l'elemento che la funzione associa a ciascun valore dell'insieme X si utilizza la notazione f (x) = y. Tra le principali proprietà che caratterizzano le funzioni matematiche ci sono quelle di simmetria, che definiscono le funzioni pari, dispari e periodiche. Nei prossimi passi vedremo quali sono le proprietà grafiche di queste particolari funzioni.

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Occorrente

  • Manuale di analisi matematica
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Una funzione matematica viene definita periodica di periodo T quando i valori che assume si ripetono ad intervalli regolari pari a T. A livello matematico possiamo scrivere che per una funzione periodica vale la relazione f (x+T) = f (x). Una proprietà delle funzioni periodiche stabilisce che la somma e il prodotto di due funzioni periodiche aventi stesso periodo T e stesso dominio, originano una nuova funzione periodica con stesso periodo T. Esempi di funzioni periodiche sono le varie funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente.

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Considerando una funzione f (x), con valori di dominio e codominio appartenenti all'insieme dei numeri reali R, essa viene definita pari quando per ogni x appartenente ad R, viene soddisfatta la relazione f (x) = f (-x). Una funzione pari a livello geometrico è caratterizzata dalla simmetria rispetto all'asse y. Il nome "pari" deriva dal fatto che gli esponenti presenti nelle serie di Taylor di funzioni pari centrate nell'origine di un sistema di assi cartesiani, hanno solamente valori pari. Un esempio di funzione pari è quello della funzione trigonometrica coseno, infatti è sempre valida la relazione cos (x) = cos (-x).

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Considerando una funzione f (x), con valori di dominio e codominio appartenenti all'insieme dei numeri reali R, essa viene definita dispari quando per ogni x appartenente ad R, viene soddisfatta la relazione f (-x) = -f (x). Una funzione dispari, geometricamente risulta simmetrica rispetto all'asse x di un sistema di assi cartesiani. In pratica, i valori a destra dell'asse y, risultano uguali ma di segno opposto rispetto quelli a sinistra. Un esempio classico di funzione dispari è la funzione trigonometrica seno, per la quale vale la relazione sen (-x) = -sen (x).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Utilizzare un buon manuale di analisi matematica per approfondire.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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