Matematica: teorema della continuità e derivabilità

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tramite: O2O
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Introduzione

In campo matematico viene chiamata funzione quella applicazione matematica che considerato l'insieme X, di norma chiamato dominio, e dato l'insieme Y detto codominio della funzione, ad ogni elemento dell'insieme X associa uno, e uno soltanto degli elementi appartenenti all'insieme Y. Dal punto di vista matematico l' operazione viene rappresentata dal seguente schema, f (x): X --> Y, che si legge come funzione di x, per X che tende a Y. Detto ciò è ora possibile analizzare più specificamente quanto viene espresso dal teorema della continuità e derivabilità, secondo cui è possibile collegare la derivazione di un punto alla continuità della stessa rispetto al punto. Il teorema possiede una sua importanza pratica non trascurabile dato che viene comunemente utilizzato per dimostrare altri e più complessi teoremi, anch'essi collegati ai principi e alle regole di derivazione delle funzioni. Per effettuare la dimostrazione matematica del teorema basterà seguire la guida, ovviamente sono richieste basilari conoscenze aritmetiche e di funzione, in ogni caso nel corso della guida gran parte di queste verranno rispolverate prima di proseguire nella dimostrazione del teorema. Buona lettura!

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Ripasso dei termini

Una funzione è derivabile in un punto se esiste la sua derivata prima in quel punto. Dove, ribadiamo anche quest'ulteriore aspetto, la derivata di una funzione in un punto è sempre un numero reale. Invece, dire che una funzione è continua in un punto p vuol dire che quel punto esistono il suo limite destro e sinistro ed i due limiti sono finiti ed uguali.
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Enunciato del teorema

L'enunciato del teorema della continuità e derivabilità afferma che data una f (x), se la funzione f è derivabile nel punto x', allora la funzione f sarà obbligatoriamente anche continua nello stesso punto x'. Se in un punto una funzione è continua, non è detto che sia anche derivabile; occorre andare a studiarla per verificarlo.

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Dimostrazione del teorema

Consideriamo l'identità: f (x) = f (x') + f (x)-f (x')/x-x'. (x-x') ed andiamo a calcolare il lim x-->x' di entrambi i membri dell'identità. Il limite per x --> x' f (x') = f (x') perché tale valore è una costante numerica. Calcoliamo adesso il limite del secondo membro della nostra identità, che per comodità chiameremo rapporto incrementale. Se x-->x' allora x-x'=0, quindi il rapporto incrementale diventa il primo fattore moltiplicato per zero (il valore assunto dal secondo fattore nella nostra condizione limite). Vale a dire, tornando all'identità iniziale, lim x-->x' f (x) = f (x') + f'(x') . 0 = f (x') che è proprio la condizione che volevamo andare a dimostrare.

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