Il Teorema di Rouché-Capelli

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In Algebra lineare, il Teorema di Rouché-Capelli enuncia che un sistema lineare di m equazioni a n incognite ha soluzione, se e solo se, il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa del sistema (Definizione Geometria Lineare). Il Teorema di Rouché-Capelli permette di accertare se un sistema è "possibile" ancora prima di essere risolto. Se non avete idea di cosa sia un sistema lineare dovete sapere le regole base. Mettere a sistema lineare due equazioni significa mettere a confronto due equazioni. Queste due equazioni messe a confronto però dovranno avere delle incognite in comune. Infatti, il sistema lineare dovrà possedere almeno due incognite in comune. Così facendo, in una equazione si può isolare un'incognita. Nel contempo nell'altra equazione messa a sistema insieme alla prima si fa lo stesso. In questo caso però il teorema di Rouché-Capelli serve prima di risolvere il sistema lineare. Ecco quindi come applicarlo.

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Occorrente

  • Conoscenze matematica di algebra lineare
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Riducete le equazioni

Prendete l’equazione lineare:
x=2+Y
Y-5=-3x
riducete le due equazioni a forma normale, incolonnate le incognite nello stesso ordine per ottenere:
x-Y=2
3x +Y=5
Prendete i coefficienti e incolonnate a matrice:
(1 -1)
(3 1)
Calcolate il determinante che è dato:
(1 *1) - (-1 *3) = 4
Dalla matrice potete estrarre minori di ordine 1 e di ordine 2, inoltre il determinante è diverso da zero. I minori con determinante diversi da zero che hanno ordine massimo sono definiti di rango 2. A questo punto definendoli di rango 2, vengono automaticamente scartate 2 soluzioni principali.

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Verificate le condizioni

In conclusione presa la matrice di partenza P e la matrice completa C avrete queste situazioni:
Se P e C hanno lo stesso rango, il sistema ha soluzioni ed è possibile.
Se P e C hanno rango diverso il sistema non è possibile.
E importante aver ben chiaro che il teorema stabilisce solo se il sistema è possibile o meno, verificate queste condizioni, un sistema lineare di m equazioni e n incognite ha quindi soluzione, ma non ci fornisce e non ci detta le regole o i sistemi per trovare la soluzione finale.

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Usate l'algoritmo

Ricordate che il rango per definizione è il numero di pivots (elementi non nulli in una matrice a scale su ogni riga) della “matrice a scala ridotta e normalizzata” (Definizione Algebrica) e non della matrice di partenza P. E’ necessario sempre per utilizzare il teorema di Rouchè Capelli con l’ausilio dell’algoritmo di GAUSS ottenere una “matrice a scala ridotta e normalizzata” equivalente. Ecco quindi spiegato il teorema.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Riducete con l'algoritmo di Gauss una matrice equivalente a scala ridotta e normalizzata
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