Il limite in matematica

tramite: O2O
Difficoltà: media
16

Introduzione

La matematica è una materia piuttosto vasta e complicata che richiede moltissimi anni per essere appresa e soprattutto capita. Non sono molte le persone che si interessano a questa materia e che sono in grado di capirla ed appassionarcisi. Per poterla studiare bene e avere poche difficoltà in futuro è bene partire da buone basi, studiarla fin da piccoli, ma soprattutto avere buoni insegnanti in grado di spiegarla bene. Non sempre è così, e alle volte bisogna mettersi in paro e cercare le informazioni necessario in altri contesti e luoghi, che possano spiegarne i concetti in maniera più semplice e basilare. Uno degli argomenti più difficili da capire in matematica è quello di limite.
Il limite in matematica è un concetto generalmente semplice, che non richiede grandi difficoltà, ma che spesso mette in crisi svariati studenti che non capiscono che cosa significa fare o trovare un limite. In italiano il limite vuol dire " linea di demarcazione, confine, dove spesso non si può andare oltre", in matematica non è proprio così, infatti, il limite sta ad indicare l'andamento di una determinata funzione, nel momento che si avvicina ad uno specifico valore, quindi all'aumentare illimitato di un evento (successione dei limiti). In matematica i limiti vengono usati per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione. In questa guida spiegheremo in pochi passaggi cosa è un limite e come si calcola, cercando di far luce su questo spinoso argomento.

26

Occorrente

  • In realtà niente, solo foglio e penna.
36

Esaminiamo alcune definizioni:
"Il limite di una successione (A-n) dei numeri reali, prevede come limite il numero A, se al crescere di n, i termini della successione sono arbitrariamente vicini al valore A." Una successione può anche non avere limiti.
Il limite di una funzione matematica si collega con il limite di successione. Quindi bisognerà prima studiare e capire svolgendo gli accurati esercizi matematici il limite di successione per poi andarlo ad applicare ad una funzione. Il limite è un concetto che in matematica viene esteso anche agli insiemi, e in questo caso prende il nome di limite insiemistico."data una successione di insiemi (A nnn), l'insieme limite è definito come quello che contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi di successione." In generale la definizione possedere un limite, si riferisce ad una successione di insiemi.

46

Prima di introdurre il concetto di limite bisogna fare una premessa:
Una retta = Insieme di punti infiniti. Un segmento = Insieme di punti infiniti (non facciamoci influenzare dalle conoscenze delle elementari).
Ora vediamo qualche esempio
Bene, ora prendiamo un intorno di punti sia a destra sia a sinistra di X0 (x zero), quindi si avrà : - delta X0 + delta (dove X0 è un numero a piacere, e delta indica un altro numero).

Questa scrittura ci fa capire che fra -delta, x0 e + delta ci sono infiniti punti, quindi numeri.
Ma ora, tornando allo studio del limite, quando è che una funzione matematica ammette un limite? E che correlazioni ci sono con i valori infiniti e il limite stesso?

La prima domanda è risposta dalla formula matematica del limite, ossia :

Ɛ Ǝ x ∈ I (x0) │ │ f (x) -L│˂ Ɛ

Che si legge: Fissato un epsilon a piacere esiste quando x appartiene all'intorno di X0 tale che valga il valore assoluto (f (x) -limite) minore di epsilon.

Epsilon è un numero piccolo a piacere, quanto piccolo? Quanto voglio, spesso 0,9.

Quindi una funzione ammette limiti quando essa si può avvicinare infinitamente al limite in un punto.
Abbiamo visto che una funzione ammette un limite quando essa si può avvicinare infinitamente al limite, ma che relazione c'è con l'infinito?
Un limite è un valore a cui non possiamo raggiungere, ma possiamo solo avvicinarci. Ecco che i numero allora non ci servono più, quando calcoliamo un limite non riusciremo sempre a trovare il punto esatto in cui esso c'è, ma dovremo utilizzare il calcolo infinitesimale, utilizzando i due valori +infinito e -infinito.
Questi due valori ci permettono di capire in quale intorno di punti si trova il limite stesso e come la funzione si comporterà.

Esempio: Per capire se un limite tende a +∞ oppure a -∞ bisogna distinguere il limite destro e il limite sinistro della funzione tangente.
In questa funzione il limite della tangente con x che tende a 0, il limite destro va a + infinito, il limite sinistro va a meno infinito. Poiché i valori andranno dal più+ grande al più piccolo fino ad arrivare a zero, per quanto riguarda il limite destro; per quanto riguarda il limite sinistro i valori andranno da sinistra verso destra fino ad arrivare allo zero. SI fermano allo zero perché x tende a zero.

Un limite può tendere a qualsiasi numero, anche a infinito, e noi possiamo studiare come si comporta la funzione in quel determinato limite.

Nella funzione logaritmica per esempio, con il limite di x che tende a infinito, la funzione sarà +infinito.

Continua la lettura
56

I tre teoremi fondamentali dei limiti:
1. Il limite è unico. Se il limite destro e il limite sinistro di una funzione non coincidono nello stesso punto esso non è un limite, quindi il limite è UNICO.

2. Teorema della permanenza del segno:
ipotesi: limite f (x)=l (limite) con l>0
tesi: Ǝ I (x0) │f (x)0

3. Teorema del confronto:
ipotesi: limite f (x)=l con x che tende a X0 limite g (x)=l con x che tende a x0 f (x)

Studiare i limiti richiede molto tempo, pazienza ed energia, ma seguendo quanto spiegato i questa guida, sarete in grado di capire e calcolare un limite abbastanza velocemente. Se però avete ancora qualche dubbio, è bene che vi rivolgiate al vostro professore, e chiedergli di rispiegarvelo di nuovo, non c'è nulla di male a domandare. Vi auguro quindi buono studio.
Alla prossima.

66

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Tanti esercizi!

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come calcolare la somma di una serie numerica

Il concetto di serie numerica generalizza, in matematica, l'idea intuitiva di "somma di infiniti addendi". In questa guida vedremo la definizione di serie, che formalizza in maniera rigorosa le idee precedenti, alcuni criteri che permettono di stabilire...
Superiori

Come trovare il minimo di una successione

Una successione, definita anche sequenza infinita oppure stringa infinita, in analisi matematica è definita in modo intuitivo alla stregua di una lista ordinata formata da un numero infinito di oggetti, chiamati termini della successione, fra i quali...
Superiori

Come studiare un limite di successione

In questa guida andremo a vedere come è possibile studiare un limite di successione. Ma prima di tutto è necessario sapere cos'è una successione. Una successione reale non è nient'altro che una sequenza illimitata di numeri, si parte da un numero...
Università e Master

Come dimostrare il Teorema di Bernstein

Prima di iniziare col discorrere del Teorema di Bernstein, è d'obbligo un piccolo chiarimento al fine di evitare ogni dubbio o fraintendimento nel lettore. Ed è bene aggiungere che i vari Bernstein non sono la stessa persona: si tratta di un curioso...
Università e Master

Come studiare una serie a termini positivi

Lo studio che andremo a leggere tra qualche riga riguarda il concetto di serie numeriche. Esse si distinguono in base al tipo di oggetti da sommare, come funzioni o semplici numeri, reali o complessi. In questa guida cercheremo di capire come studiare...
Università e Master

Come dimostrare il Teorema di Cantor

Il Teorema di Cantor è un risultato di notevole rilievo nell'ambito della Teoria degli Insiemi che riguarda il rapporto in termini di equipotenza tra un insieme S - sia esso finito o infinito - ed il suo insieme delle parti P (S). Tale risultato è evidente...
Università e Master

Teorema dell'infinità dei numeri primi: dimostrazione

La matematica è da sempre la materia più complicata sia per i bambini delle scuole elementari, sia per gli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà è dovuta soprattutto al fatto che i concetti sono tutti collegati...
Università e Master

Teorema di esistenza del limite di successioni monotone: dimostrazione

Il teorema dell'esistenza del limite di successioni monotone è un noto teorema dell’analisi matematica, il quale afferma che ogni successione monotona possiede un limite. Nella guida che segue vi sarà spiegato cos'è una successione, quali tipi di...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.