Formula per la legge moltiplicativa delle probabilità

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

La matematica è una materia piuttosto vasta e complessa che racchiude in se moltissime formule per poter calcolare di tutto, basta trovare quella giusta. Tra le tante formule che possiamo trovare c'è quella per il calcolo delle probabilità.
Spesso è quello che chiamiamo caso a dettare leggi per il verificarsi o meno di fenomeni. È da questa considerazione che i matematici hanno inventato il calcolo delle probabilità, ovvero quella scienza che si occupa di stabilire leggi dove in realtà non ci sono. Per questo che oggi parliamo di come si formula la legge moltiplicativa delle probabilità. Attraverso i passi di questa guida vi daremo i consigli giusti che potranno aiutarvi a compiere i giusti calcoli. Mettiamoci all'opera quindi.

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Spazio di probabilità

Uno spazio di probabilità è una terna di elementi (O, A, P) che sono rispettivamente:
-O l'insieme dei possibili risultati
-A una famiglia di sottoinsiemi di O chiusa rispetto all'unione, l'intersezione e l'insieme complementare ovvero una sigma-algebra
-P la misura di probabilità sui sottoinsiemi di O. Ovvero una funzione che va da A ad R^+, cioè i numeri reali positivi, che gode di due importanti proprietà: la misura dell'insieme O è 1 e la probabilità dell'unione di singoli eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi.
L'enunciato, in apparenza ostico, rappresenta invece la schematizzazione della realtà in cui viviamo.

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Eventi indipendenti


Ma cosa succede se i due eventi sono indipendenti? Ovvero se l'uno non dipende dall'altro ?
In questo caso la probabilità condizionata diventa uguale alla probabilità che si verifichi l'evento casuale senza contare l'evento certo. In formule accade che P (B|A)=P (B). Ma allora andando a rivedere la definizione della probabilità condizionata scopriamo che valgono tutte le formule presenti nella figura 3.
Nella fig.3 troviamo quella che è chiamata legge moltiplicativa delle probabilità ovvero la probabilità che si verifichino insieme due eventi è data dal prodotto delle singole probabilità.

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Frequenza dell'evento

Procediamo adesso con un esempio illuminante e ben noto. Supponiamo di avere una moneta truccata. Essa ci fornisce testa con probabilità p e croce con una probabilità 1-p.
Qual è la probabilità di ottenere una prefissata sequenza di teste e di croci ?
La probabilità di avere una determinata sequenza è uno specifico evento appartenente al nostro spazio di probabilità. Per precisione è l'evento intersezione di una certa sequenza. Se ad esempio cerchiamo la probabilità della sequenza testa, testa, testa, croce, croce ci stiamo chiedendo P (testa, testa, testa, croce, croce)=? Dove la virgola rappresenta l'intersezione che accadano questi eventi uno dopo l'altro.
La risposta al quesito ci arriva direttamente dalla legge moltiplicativa delle probabilità. Infatti non abbiamo motivo di considerare gli eventi dipendenti l'uno dagli altri. In effetti il fatto che esca testa non pregiudica il lancio successivo; ha quindi senso dichiarare gli eventi indipendenti. Dalla legge moltiplicativa si ha P (testa, testa, testa, croce, croce)=
P (testa) P (testa) P (testa) P (croce) P (croce)=p^3 (1-p)^2.
La formula per il calcolo delle probabilità richiede un po' di studio ed attenzione per poter essere appresa velocemente e senza grosse difficoltà. Vi basterà in ogni caso seguire le indicazioni di questa guida per poter procedere allo studio di questa formula e poter così compiere i vostri calcoli, soprattutto se si tratta di qualcosa di importante. Vi auguro quindi buon lavoro e buona fortuna.
Alla prossima.

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