Elementi di fisica: la cicloide inversa

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica e la fisica sono due materie molto complicate e non tutti sono in grado di comprendere tutti gli argomenti trattati da queste discipline. In questi casi potremo provare a ricercare su internet, fra le moltissime guide che ogni giorno vengono continuamente pubblicate, quella che tratta gli argomenti che non riusciamo a comprendere. Quindi una volta trovata la guida che fa al caso nostro, non dovremo fare altro che leggere tutte le semplici indicazioni riportate al suo interno. Nei passi successivi di questa guida, in particolare, vedremo alcuni elementi di fisica che trattano la cicloide inversa. La cicloide non è altro che una particolare curva che viene tracciata partendo da un punto fisso appartenente ad una circonferenza che rotola seguendo una retta. La cicloide inversa è una cicloide ruotata di 180 gradi.

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In questa guida vedremo come dimostrare le proprietà di una cicloide inversa, utilizzando la definizione fisica della cicloide e la proprietà cinematica, ovvero la velocità istantanea di un punto e tangente alla sua traiettoria. Facendo riferimento alla figura, P1 e P2 sono due punti di tangenza appartenenti a due cerchi di rotolamento. I due cerchi iniziano a rotolare con la stessa velocità e la stessa direzione senza slittamento. P1 e P2 iniziano a disegnare due archi cicloidici come nella foto. Considerando che la linea che collega P1 e P2 è arbitraria, è possibile dimostrare che questa è tangente in qualsiasi momento di P2 all'arco inferiore ed ortogonale alla tangente nel P1 dell'arco superiore.

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L'equazione della cicloide generata da una circonferenza di raggio r, è: (x, y), dove x = r (t - \ sin t), ed y = r (1 - \ cos t), dove t è un parametro reale corrispondente all'angolo, attraverso cui il cerchio di rotolamento ha ruotato, ed è misurato in radianti. Per una data t, il centro del cerchio si trova in x = rt, dove y = r. Risolvendo t per sostituzione, l'equazione cartesiana risulta essere: x = r \ cos ^(- 1) (1 - y / r) - radice quadrata di [y (2r - y)]. L'espressione dell'equazione nella forma y = f (x) non è possibile calcolarla utilizzando funzioni standard.

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Il primo arco della cicloide consiste in punti tali che 0 ≤ t ≤ 2π. Dal momento in cui y è considerato come una funzione di x, la cicloide inversa sarà derivabile ovunque tranne che sulle cuspidi, cioè nei punti in cui essa colpisce l'asse x con il derivato tendente infinito (∞) o meno infinito (∞) ogni volta che si avvicina ad una cuspide. La mappa da T a (x, y) è una curva differenziabile o curva parametrica di classe C∞; la singolarità, cui il derivato è 0, è una cuspide ordinaria. Quindi, la cicloide inversa soddisfa l'equazione differenziale: (dy /dx) ^2 = 2r / y - 1.

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