Dimostrazione della formula della distanza fra due punti

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Spesso capita di dover calcolare la distanza tra due punti: quando ad esempio si progettano case, videogiochi o quando bisognerà montare delle mensole. Per farlo non occorrerà altro che sapere come utilizzare la formula della distanza. Se siete studenti di matematica, potete usare questa formula per risolvere problemi riguardanti il triangolo rettangolo. Vediamo insieme nella guida seguente la dimostrazione della formula della distanza fra due punti, risolvendo insieme un problema.

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Sulla carta millimetrata disegnate un triangolo rettangolo, tracciando i tre vertici dello stesso. Posizionate il punto A a coordinate 0,0, il punto B a coordinate 3,0 ed il punto C a coordinate 3,4. Disegnate delle linee rette che uniscono i punti A e B, i punti B e C ed i punti A e C. Le linee, collegate tra loro, formeranno un triangolo rettangolo. Calcolate la lunghezza del segmento AB utilizzando la formula della distanza. Al valore della coordinata x del punto B, sottraiamo il valore della coordinata x del punto A, ottenendo come risultato 3 (3-0=3).

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Questo valore, che rappresenta la differenza tra le coordinate x, dovrà essere elevato al quadrato. Basterà moltiplicare il numero per se stesso, ottenendo dunque 9 (3X3=9). Adesso al valore della coordinata y di B dobbiamo sottrarre il valore della coordinata y di A, ottenendo 0 (0-0=0). Anche quest'ultimo valore deve essere elevato al quadrato: otteniamo il valore 0 (0x0=0). Sommate i quadrati delle differenze tra le coordinate x e y. Dal momento che il quadrato delle differenze tra le coordinate x è 9, ed il quadrato delle differenze tra le coordinate y è 0, otteniamo come valore un 9 (9+0=9).

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Adesso sarà necessario calcolare la radice quadrata della somma tra i quadrati delle differenze tra le coordinate x ed y, ottenendo come valore 3 unità, che è anche lunghezza della linea AB, infatti 3x3=9. Calcolate la lunghezza della linea BC, seguendo le stesse procedure descritte fin'ora per il calcolo del segmento AB. Il risultato ottenuto sarà uguale a 4. In altri termini dunque, la lunghezza della linea AB sarà di 4 unità. Calcolate la lunghezza del segmento CA, che risulterà essere di 5 unità. Calcolate ora il perimetro dei triangoli rettangoli: basterà sommare la lunghezza reale di tutti i lati. Nell'esempio proposto, le lunghezze dei lati sono 3, 4 e 5 cm, pertanto il perimetro sarà di 12 centimetri. La formula matematica della distanza tra due punti risulta essere così ampiamente dimostrata.

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