Come utilizzare la formula di Binet

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Binet è un matematico francese dell'Ottocento, che si è dilettato anche di astronomia e con notevole successo. La formula per cui Binet è famoso è collegata alla nota successione di Fibonacci e consente di calcolare direttamente un qualsiasi numero di Fibonacci (il primo, il quarto, il decimo, etc.) senza dover calcolare prima i precedenti. E in questa guida vediamo proprio come utilizzare la formula di Binet.

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Occorrente

  • calcolatrice scientifica o foglio elettronico
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Ripassiamo prima la famosa successione di Fibonacci. Si tratta di una successione infinita di numeri interi positivi, in cui i primi due sono uguali tra loro e pari a 1, mentre dal terzo in poi sono pari alla somma dei due precedenti. Di conseguenza il terzo numero di Fibonacci è pari alla somma del secondo e del primo, quindi 1+1=2; il quarto numero di Fibonacci è pari alla somma del terzo e del secondo, quindi 2+1=3 e così via.

L'inconveniente di questa definizione risiede nel fatto che per calcolare l'n-mo numero di Fibonacci devo prima calcolare tutti quelli che lo precedono nella lista. Ad esempio se voglio l'undicesimo numero di questa particolare serie, devo prima calcolare i primi dieci elementi.

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Per evitare questo lungo lavoro, ci viene in aiuto la formula di Binet, che consente appunto di calcolare il valore dell'n-mo numero di Fibonacci senza dover preventivamente calcolare tutti i numeri di Fibonacci più piccoli di quello desiderato, con un grande risparmio di tempo e... Di calcoli.

Continua la lettura
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Chiamiamo innanzitutto N la posizione nella successione in oggetto del numero da calcolare. Quindi se N=5 significa che cerco il quinto numero di Fibonacci, se N=40 vuol dire che cerco il quarantesimo numero all'interno della medesima sequenza e così via.

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Proviamo a calcolare direttamente il settimo numero di Fibonacci (quindi N=7) utilizzando la formula di Binet, in alternativa al calcolo dei primi sei numeri di Fibonacci e al corrispondente calcolo del settimo!

Per prima cosa sommiamo a 1 la radice quadrata di 5 e dimezziamo il risultato, ottenendo 1,618033989 ed eleviamo a N, quindi alla settima, ricavando 29,03444185, valore che chiamiamo A.

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In modo simile sottraiamo a 1 la radice quadrata di 5 e dimezziamo il risultato, ottenendo il numero negativo -0,61803399 ed eleviamo a N, ancora alla settima quindi, ottenendo come risultato -0,03444185, valore che chiamiamo B.

Facciamo poi A-B, che vale 29,06888371.

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Siamo quasi alla fine!

Prendiamo l'ultimo risultato ottenuto (29,06888371) e dividiamolo per la radice quadrata di 5, ottenendo 13, che è proprio il settimo numero della sequenza di Fibonacci.

Infatti tornando all'inizio di questa guida i primi quattro numeri erano 1, 1, 2, 3, quindi il quinto è 2+3=5, il sesto è 3+5=8 e il settimo è proprio 5+8=13!

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