Come trovare l'equazione della retta nel piano

di Ralf Bloom tramite: O2O difficoltà: media

La retta e il piano sono due dei concetti primitivi della geometria: impariamo presto la loro definizione e a rappresentarli, mentre diventa più difficile individuare una retta all'interno di un piano. Per poterlo fare, è necessario avere degli elementi per individuare la retta, ovvero due punti, e le loro coordinate per individuarla sul piano. Vediamo però come trovare l'equazione che la rappresenta.

1 L'equazione di una retta nel piano può essere individuata in due modi, in base agli elementi che abbiamo. Fondamentali sono le coordinate di almeno un punto, mentre l'elemento variabile è il secondo: possono essere o le coordinate di un altro punto oppure il coefficiente angolare, ovvero l'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse. Vediamo cosa succede in entrambi i casi.

2 Il primo caso è quello in cui si posseggono le coordinate di un punto P (X0, Y0) e il coefficiente angolare m. Per poter individuare l'equazione della retta passante da quel preciso punto, bisogna partire dall'equazione generica, di tipo y = mx. Se la retta non passa per l'origine degli assi, sarà necessario usare un altro elemento, ovvero il termine noto q, che indica la coordinata y del punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate. Imponendo il passaggio per il punto P, avremo: Y0 = mX0 + q.A questo punto, bisognerà sottrarre membro per membro, avendo come risultato finale: y - Y0 = m (x - X0). Sostituendo a Y0 e X0 le cifre delle coordinate e semplificando se serve, otterremo un'equazione di tipo y = mx + q.

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3 Passiamo al secondo caso, ovvero quando si possiedono le coordinate di due punti.  Chiamiamoli A (y1, x1) e B (y2, x2).  Approfondimento Come ricavare l'equazione di una retta passante per un punto e parallela ad una retta (clicca qui) In questo caso, è necessario individuare prima il coefficiente angolare, sfruttando la formula spiegata prima e imponendola al primo punto Dunque avremo, per il punto A: y - y1 = m (x - x1), dalla quale potremo facilmente ricavare il coefficiente angolare, tramite la formula m = (y- y1)/(x-x1).

4 A questo punto, imporre il passaggio per B (y2, x2), ottenendo y2 - y1 = m (x2 - x1). Anche in questo caso, sarà necessario ricavare il coefficiente angolare, che ci verrà dato dal rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dei due punti, secondo la formula m = (y2- y1)/(x2-x1).

5 Visto che i punti presi in considerazione provengono dalla stessa retta, i due coefficienti angolari che si avranno come risultato avranno lo stesso valore, e quindi si potranno uguagliare le due equazioni, ottenendo così quella di una retta passante per due punti, così come mostrato nell'immagine.

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