Come trovare la derivata di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Un concetto che mette in difficoltà molti studenti che si approcciano allo studio della funzione è sicuramente quello di derivata. La derivata, infatti, è inizialmente difficile da contestualizzare all'interno della funzione, poiché è collegata ad elementi come la tangente ed il rapporto incrementale. In linea di massima, possiamo dire che, matematicamente, la derivata è il limite per l'incremento di x che tende a 0 del rapporto incrementale, mentre geometricamente essa corrisponde al coefficiente angolare dell'equazione della retta tangente del punto di cui stiamo calcolando la derivata. Trovare la derivata di una funzione significa, dunque, avere la possibilità di capire cosa accade all'andamento della funzione in un determinato punto.

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Calcolare la derivata di un numero naturale e di un'incognita

Dal punto di vista del mero calcolo, diciamo che la derivata, che possiamo indicare con una D maiuscola (o, più spesso, con una y'), è una seconda equazione che ricaviamo da quella che descrive la funzione. Per farlo, occorre bisogna sapere alcune regole fisse: la derivata di un numero naturale, ad esempio, è sempre uguale a zero; allo stesso modo, la derivata dell'incognita x è sempre uguale ad uno. Se, dunque, dovessimo derivare la funzione y= 2x+3, otterremmo che la derivata è y= 2(1) + 0, e quindi y'=2.

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Calcolare la derivata di una radice e di una potenza di x

La derivata di una radice che ha per argomento x, è uguale ad 1/2(√x), ovvero alla radice moltiplicata per un mezzo. Leggermente più complesso è il calcolo della derivata dell'incognita x elevata a potenza: in questo caso la derivata sarà uguale al prodotto tra l'esponente e l'incognita x elevata all'esponente diminuito di uno. Riesce molto più facile spiegarlo e comprenderlo con un esempio: data la funzione y= x^3 (x elevata alla terza), la sua derivatà sarà y'= 3x^2, ovvero il prodotto tra l'esponente (in questo caso 3, che scende e diventa fattore) e la x elevata all'esponente diminuito di uno (in questo caso 3-1, cioè 2).

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Calcolare la derivata di una funzione goniometrica, esponenziale e logartimica

Le due funzioni goniometriche che più frequentemente ci troveremo ad analizzare sono senx e cosx, ovvero il seno ed il coseno di x: la derivata di senx è uguale a cosx, mentre la derivata di cosx è uguale a -senx (notate, in questo secondo caso, il cambio di segno). Semplice da ricordare è la derivata di una funzione esponenziale, poiché essa resta invariata: abbiamo infatti che per y=e^x, y'=e^x. Il logaritmo in base naturale di x ha, infine, per derivata l'inverso di x: numericamente parlando, per y=ln (x), y'= 1/x.; se invece il logaritmo ha per base un numero naturale, che chiamiamo "a", avremo che: y'= 1/x[ln (a)].

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