Come trovare i punti di discontinuità di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Se una funzione reale di variabile reale è continua, allora possiamo tranquillamente disegnare su di un piano cartesiano senza staccare la matita dal foglio. Il grafico che otterremo quindi, sarà una linea continua. Questo tipo di funzione è davvero facile da studiare. Ma che succede invece, se una di queste funzioni avesse dei problemi di continuità diventando, per l'appunto, discontinua? Fortunatamente, c'è un modo per trovare i punti di discontinuità di una funzione. Ecco come.

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Occorrente

  • esercizi sulle funzioni
  • Calcolatrice
  • grafico
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Definire i punti di discontinuità

Come precedentemente accennato, i punti di discontinuità di una funzione, non sono altro che i punti di una funzione non continua. Per dirlo in modo più articolato, sono presenti due definizioni che andremo a vedere: La prima definizione è che una funzione viene denominata discontinua, se in un punto con x0 del suo dominio il limite f (x) non esiste, è infinito oppure esiste, ma è diverso da f (x0). La seconda definizione invece, presente spesso sui libri di testo, dice che una funzione diventa discontinua quando x0 è un punto di accumulazione del dominio che però non appartiene al domino, altrimenti x0 è un punto del dominio in cui lim x=>x0 f (x) non esiste, è infinito oppure esiste, ma è diverso da f (x0).

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Scoprire la tipologia di discontinuità

Oltre alle diverse denominazioni di una discontinuità in una funzione, sono presenti anche tre tipologie di discontinuità che ci serviranno a capire come trovarne una. La prima è chiamata di "prima specie". Essa viene denominata così, quando la funzione presenta dei limiti finiti, sia destro che sinistro, ma diversi. Un esempio pratico è questo: y= x per x <0 x+2 per ≥0. Bisogna inoltre, fare molta attenzione, poiché una funzione non ha necessariamente una formula fissa per tutto l'asse reale. La "seconda specie" di una discontinuità invece, è valida quando la funzione in un determinato punto è infinita. Come ben sappiamo, l'infinito non è un punto che si può precisare, indi per cui la funzione rimante indefinita. Al contrario, la "terza specie" è la discontinuità di una funzione che, o non esiste, o esiste ma il suo valore è diverso dal limite. Quando avremo scoperto la tipologia di discontinuità della nostra funzione discontinua, possiamo andare a trovarla e, perché no, calcolarla.

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Trovare i punti di discontinuità

A questo punto, trovare e calcolare i punti di discontinuità, diventerà abbastanza facile. Per capire al meglio come dobbiamo procedere, seguiamo questo esempio di funzione discontinua: f (x)=2x-2/x2-1. Se calcoliamo il limite sinistro e il limite destro di questa funzione infatti, risulterà che il primo limite sarà meno infinito, mentre il secondo limite più infinito. Quindi si tratta di una discontinuità di seconda specie. Se il concetto di discontinuità non ci è chiaro al primo colpo, possiamo esercitarci con degli esercizi da svolgere anche a casa, così da non essere impreparati durante un esame importante.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per riuscire a trovare i punti di discontinuità di una funzione, è bene saper calcolare i limiti.
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