Come svolgere una identità in funzione di seno e coseno

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Durante i nostri percorsi di studi ci siamo molto spesso imbattuti in materie piuttosto complicate e ostiche. La matematica è senza ombra di dubbio una di quelle materie che ci hanno procurato non pochi grattacapi. Tra gli argomenti più complessi della matematica, la trigonometria è una di quelli più spinosi. Lo scopo di questa guida è quello di mostrare come svolgere una identità in funzione di seno e coseno.

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Prima di tutto è bene spiegare il concetto di identità. Un'identità trigonometrica è una identità di tipo matematico che riguarda le funzioni di seno e coseno, e quindi la trigonometria. Le identità trigonometriche vengono utilizzate per la semplificazione di molte espressioni che contengono funzioni trigonometriche o anche per il calcolo degli integrali.

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I primi problemi che affronteremo per la risoluzione, potrebbero essere relativi ai segni negativi. La gestione dei segni negativi può facilmente risolversi tramite le seguenti formule: sin(-α)=-sin (α), cos (-α)=cos (α), tan(-α)=-tan (α), cot(-α)=-cot (α).
Gli argomenti delle identità trigonometriche possono essere soggetti a sottrazione o addizione, per cui è bene conoscere questi teoremi di semplificazione: Sin (α+β)=sin (α)*cos (β)+cos (α)*sin (β), Sin (α-β)=sin (α)*cos (β)-cos (α)*sin (β), Cos (α+β)=cos (α)*cos (β)-sin (α)*sin (β), Cos (α-β)=cos (α)*cos (β)+sin (α)*sin (β), tan (α+β)=(tan (α)+tan (β))/(1-tan (α)*tan (β)), tan (α-β)=(tan (α)-tan (β))/(1+tan (α)*tan (β)), cot (α+β)=(cot (α)*cot (β)-1)/(cot (α)+cot (β)), cot (α-β)=(cot (α)*cot (β)+1)/(cot (α)-cot (β)).

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Avremo, quindi, a che fare con le seguenti funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Per procedere allo svolgimento dobbiamo definire le funzioni trigonometriche elencante precedentemente. Per farlo avvaliamoci dell'immagine allegata al passaggio, che è molto esauriente ed esaustiva.

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Sono presenti anche delle formule di bisezione e duplicazione. Per quanto riguarda la bisezione la formula è la seguente: cos (α/2)=√((1 + cos (α))/2) sin (α/2)=√((1 - cos (α))/2). Mentre per la duplicazione la formula da utilizzare è questa: Sin (2α)=2sin (α)*cos (β) cos (2α)=cos^2(α) –sin^2(α) cot (2α)=(cos^2(α) -1)/2cot (α).
Qualora avessimo a che fare con delle funzioni piuttosto complesse, potremmo utilizzare le formule parametriche. Ad esempio se poniamo t=tan (α/2), ne deriva questo: sin (α)=2t/(1+t^2) e cos (α)=(1-t^2)/(1+t^2). Se sostituiamo a t il valore iniziale, otterremo il risultato della funzione.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Conoscere approfonditamente le basi matematiche, necessarie per questi argomenti.
  • Ricordare a memoria le formule e i teoremi di semplificazione.
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