Come studiare una serie a termini positivi

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Difficoltà: media
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Introduzione

Lo studio che andremo a leggere tra qualche riga riguarda il concetto di serie numeriche. Esse si distinguono in base al tipo di oggetti da sommare, come funzioni o semplici numeri, reali o complessi. In questa guida cercheremo di capire come studiare il caso particolare di una serie numerica a termini positivi.

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Occorrente

  • Conoscenze di base di matematica su insiemi di numeri naturali
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Diamo una prima definizione di serie o successione allo scopo di rendere meno astruso l'intero concetto. Si definisce serie la somma algebrica di una successione di numeri finiti o infiniti. Nel caso di somme di numeri finiti parleremo di somme parziali o ridotte, utilizzate per studiare la convergenza della serie a numeri infiniti.

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Per capire meglio quanto scritto, immaginiamo di avere una successione di numeri {An}n, con n appartenente all'insieme dei numeri naturali N, ossia N={1,2,3...}, che va da uno a infinito. "An" rappresenta un termine costante, ad esempio An=(n+2)/n e decidiamo per semplicità che la serie venga studiata per n che va da 1 a 3. Quindi per n=1 otteniamo A1=(1+2)/1=3, per n=2 otteniamo A2=(2+2)/2=2, per n=3 otteniamo A3=(3+1)/3=1,33. In questo banale esempio la serie è pari a An=A1+A2+A3=6,33.

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Per definizione diremo che una serie di elementi {An}n per n che va da uno a infinito, si dirà a segno costante se i termini della successione numerica hanno tutti lo stesso segno, ovvero risultano tutti positivi o tutti negativi. Nell'esempio precedente, la serie numerica è a termini positivi perché per ogni n di {An}n i termini della successione sono tutti positivi.

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Per capire se una serie è a termini positivi sarà necessario verificare che la disequazione An>0 sia verificata per qualunque n appartenente all'insieme N={1,2,3,...}. Per fare un esempio, consideriamo la successione An=(n²+1)/(n-1) e vediamo per quale valore di n essa sarà sempre maggiore di zero. Quindi avremo che n²+1 è sempre positivo, mentre al denominatore per n>1 tutti i termini sono positivi. La serie è di segno costante a termini positivi. Le serie a termini positivi, cosi come quelle a termini negativi, non possono essere mai irregolari, ovvero convergono o divergono positivamente.

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Appurato che la nostra serie è a termini positivi, non resta altro che verificare se soddisfa il criterio di condizione necessaria per la convergenza, ossia la condizione di convergenza di Cauchy. Data una serie {An}n con n appartenente ai numeri naturali N={1,2,3,...}, per n che va da uno a infinito, se la serie converge allora il limite per n che tende ad infinito di An è uguale a zero. Nel caso in cui la serie non sia di segno costante positivo, questa condizione è solo necessaria. Ciò significa che se il limite suddetto tende a zero non vuol dire che la serie converge. Se invece il limite suddetto è diverso da zero, allora possiamo affermare con certezza che la serie non converge, ma non possiamo asserire che sia irregolare o divergente.

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Appurato che la nostra serie è a termini positivi, non resta altro che verificare se soddisfa il criterio di condizione necessaria per la convergenza, ossia la condizione di convergenza di Cauchy. Data una serie {An}n con n appartenente ai numeri naturali N={1,2,3,...}, per n che va da uno a infinito, se la serie converge allora il limite per n che tende ad infinito di An è uguale a zero. Nel caso in cui la serie non sia di segno costante positivo, questa condizione è solo necessaria. Ciò significa che se il limite suddetto tende a zero non vuol dire che la serie converge. Se invece il limite suddetto è diverso da zero, allora possiamo affermare con certezza che la serie non converge, ma non possiamo asserire che sia irregolare o divergente.

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Riepilogando brevemente, nel caso di una serie a segno costante, e nel nostro caso a segno costante positivo, allora basterà verificare, come già detto, la condizione di convergenza di Cauchy. La condizione impone che se la serie converge allora il limite deve tendere a zero. Se il limite tende ad un numero positivo diverso da zero, allora la serie diverge positivamente.

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Quindi, se parliamo di una serie a segno costante positivo basterà verificare, come già detto, la condizione di convergenza di Cauchy che dice: se la serie converge il limite deve tendere a zero, se il limite tende ad un numero positivo diverso da zero, allora la serie diverge positivamente.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per applicare la condizione di convergenza di Cauchy è necessario avere un minimo di conoscenza sui limiti
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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