Come stabilire il rango di una matrice al variare di un parametro

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una delle materie che più crea problemi agli studenti. In realtà per comprendere appieno questa materia bisogna avere una buona base di teoria. È questo il caso del calcolo del rango di una matrice. Calcolare il rango di una matrice è un'operazione richiesta in moltissimi ambiti e anche se ormai è possibile farlo attraverso un computer è indispensabile saperlo fare anche alla vecchia maniera. In questa guida ci occuperemo proprio di questo e in particolare vedremo come stabilire il rango di una matrice che contiene un parametro. L'analisi verrà svolta al variare del valore. Vediamo come fare.

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Occorrente

  • Libro di matematica
  • Esercizi
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Per studiare il rango di una matrice bisogna valutarne il determinante. Se vogliamo determinare il rango di una matrice al variare del parametro k le operazioni da eseguire sono praticamente le stesse che si farebbero per una matrice priva di parametro. Dobbiamo però tenere a mente che nel caso di matrice con parametro k il determinante dipenderà dal parametro, così come il rango. Per il resto si procede alla stessa maniera, calcolando il determinante della matrice considerando anche k. Si pone poi il determinante (che sarà un'espressione di k) uguale a zero. Risolvendo infine questa equazione (che può essere anche di grado superiore al secondo), si determinano i valori di k per cui il determinante si annulla.

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Nel caso banale di una matrice 3x3, sarà sufficiente stabilire per quali valori di k il determinante è diverso da 0 (e quelli saranno i valori di k per cui il rango della matrice è 3) e quei valori per cui il determinante si annulla. In questo secondo caso, si prende una matrice 2x2 (possibilmente che nn contenga il parametro k) con determinante diverso da 0, per stabilire che il rango della grande è 2. Se tutte le matrici 2x2 contengono k, allora bisognerà fare un ulteriore studio, che però tendenzialmente si rivela superfluo, perché è difficile che tutte le matrici 2x2 si possano annullare per un determinato k (e allora per quel K il rg M=1) e quindi basta trovare una matrice 2x2 che non si annulla.

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Ovviamente, se la matrice non si annulla per nessun K, significa che il rg è sempre 3, mentre se si annulla per ogni k, il rg è sempre minore di 3.
Se invece vi trovate nel caso della matrice 4x3, vi basterà ripetere lo stesso procedimento applicando il teorema degli orlati.
Una cosa a cui dovete prestare estrema attenzione, è che le 2 matrici "orlate" che vi troverete avranno diversi valori di k per i quali i loro determinanti si annullano.
Se c'è un valore per il quale si annullano tutte e due, allora significa che per quel valore rg m <3, mentre se la prima matrice si annulla per k=x e la seconda per k=y, significa che il rango è 3, perché il valore x che annulla la prima non annulla la seconda, e per il rango è sufficiente che UNA matrice abbia il determinante non nullo.

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