Come Stabilire Il Rango Di Una Matrice

dalla redazione O2O difficoltà: media

Come Stabilire Il Rango Di Una Matrice Questa breve guida vi permetterà di stabilire in maniera semplicissima il rango di una matrice che vi verrà sottoposta, che sia una matrice quadrata o no. Prerequisito di questa guida è saper calcolare il determinante di qualsiasi matrice. Per semplicità ci limiteremo ad analizzare il caso di una matrice 3x3 e 3x4

Assicurati di avere a portata di mano: carta e penna

1 Il rango costituisce il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti all'interno di una matrice, che può quindi essere al massimo pari al minore tra r e c (numero di righe e di colonne)
Se il determinante di una matrice quadrata M 3x3 è diverso da 0, significa che c'è indipendenza lineare nella matrice e quindi rg M =3; se invece il determinante è diverso da 0, sicuramente rg M<3.

2 Per stabilire con esattezza il rango, è sufficiente prendere una matrice 2x2 all'interno della nostra matrice M che abbia determinante diverso da 0, potendo cosi stabilire che rg M=2; se tra tutte le possibili combinazioni di matrici minori 2x2 non ce n'è nemmeno una con determinante diverso da 0, significa che rg M=1 (che è il minimo valore che il rango di una qualsiasi matrice può assumere).
In sostanza, il rango corrisponde all'ordine massimo della matrice in cui il determinante sia diverso da 0.

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3 Quando abbiamo a che fare con matrici non quadrate, la faccenda si complica perché in caso per esempio di una matrice N 4x3, dovremmo prendere tutte le possibili combinazioni di matrici quadrate 3x3 all'interno della nostra matrice N e verificare che almeno uno dei loro determinanti sia diverso da 0, per poter stabilire se il rg N=3.
Altrimenti si può utilizzare il teorema degli orlati, che permette di ridurre di molto i calcoli e la complessità dell'esercizio. 

4 Infatti ci basta trovare all'interno della matrice N una matrice 2x2 (anche prendendo 2 elementi sulla prima riga e due sull'ultima (per esempio) purchè si trovino sulle stesse colonne o viceversa) con det diverso da 0, dopodichè si trovano gli orlati, cioè le 2 matrici 3x3 che fanno da "contorno " alla matrice 2x2 (se si prendono le prime 2 righe e 2 colonne di N, il primo orlato sarà costituito dalla 2x2 con l aggiunta dell' ultima riga e della terza colonna, mentre il secondo orlato avrà la matrice 2x2 con l' ultima riga e della quarta colonna). Se una dei due orlati avrà determinante diverso da 0, significa che la matrice N ha rg 3, altrimenti avrà rg 2.
Queste sono regole applicabili a qualsiasi tipo di matrice:)

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