Come stabilire il rango di una matrice

di Andrea Fiorino tramite: O2O difficoltà: media

Tutti gli studenti si sono trovati durante la propria carriera scolastica a fare i conti con l'algebra. Tra gli argomenti più ostici che metto in imbarazzo e seria difficoltà anche gli studenti più preparati abbia le matrici. In questa guida vi mostreremo come fare per stabilire il rango di una matrice. È una delle tante operazioni che si svolgono sulle matrici, ma fondamentale per portarne avanti lo studio. Vedremo in questa guida come riuscire a stabilire il rango sia in caso di matrice quadrata o anche se abbiamo una matrice di forma rettangolare. Questa guida a una propedeuticità, cioè che è richiesto è la capacita di saper calcolare il determinante della stessa, elemento fondamentale per poter procedere nell'operazione di stabilirne il rango. Per farvi comprendere al meglio il funzionamento del procedimento che andremo a mostrandovi vi presenteremo nel corso della guida due esempi base: quello di una mantice 3x3 e quello di una matrice 3x4.

Assicurati di avere a portata di mano: carta e penna

1 Il rango costituisce il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti all'interno di una matrice, che può quindi essere al massimo pari al minore tra r e c (numero di righe e di colonne)
Se il determinante di una matrice quadrata M 3x3 è diverso da 0, significa che c'è indipendenza lineare nella matrice e quindi rg M =3. Se invece il determinante è diverso da 0, sicuramente rg M<3.

2 Stabilire l rango non è un'operazione complessa e per arrivare allo scopo è sufficiente prendere una matrice 2x2 all'interno della nostra matrice M che abbia determinante diverso da 0, potendo cosi stabilire che rg M=2; se tra tutte le possibili combinazioni di matrici minori 2x2, non ce n'è nemmeno una con determinante diverso da 0, significa che rg M=1 (che è il minimo valore che il rango di una qualsiasi matrice può assumere). In sostanza, il rango corrisponde all'ordine massimo della matrice in cui il determinante sia diverso da 0.

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3 Quando abbiamo a che fare con matrici non quadrate, la faccenda si complica perché in caso per esempio di una matrice N 4x3, dovremmo prendere tutte le possibili combinazioni di matrici quadrate 3x3 all'interno della nostra matrice N e verificare che almeno uno dei loro determinanti sia diverso da 0, per poter stabilire se il rg N=3.  Altrimenti si può utilizzare il teorema degli orlati, che permette di ridurre di molto i calcoli e la complessità dell'esercizio. 

4 Infatti ci basta trovare all'interno della matrice N una matrice 2x2 (anche prendendo 2 elementi sulla prima riga e due sull'ultima (per esempio) purché si trovino sulle stesse colonne o viceversa) con det diverso da 0, dopodichè si trovano gli orlati, cioè le 2 matrici 3x3 che fanno da "contorno " alla matrice 2x2 (se si prendono le prime 2 righe e 2 colonne di N, il primo orlato sarà costituito dalla 2x2 con l aggiunta dell' ultima riga e della terza colonna, mentre il secondo orlato avrà la matrice 2x2 con l' ultima riga e della quarta colonna). Se una dei due orlati avrà determinante diverso da 0, significa che la matrice N ha rg 3, altrimenti avrà rg 2.  

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