Come Si Scompongono I Polinomi

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Con questa guida riuscirai a comprendere come si scompongono i polinomi, ed in particolare ad imparare e mettere in pratica regole matematiche come la somma di due cubi, la differenza tra due cubi, il quadrato di binomio e trinomio, la differenza tra due quadrati, il trinomio notevole, il raccoglimento a fattor comune (parziale e totale), la scomposizione secondo il metodo di Ruffini.

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Occorrente

  • Conoscenze algebriche di base
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Sia a^3+b^3 una somma tra due cubi; il binomio si scompone eseguendo il prodotto delle basi per il trinomio formato dal quadrato della prima base più il quadrato della seconda base, meno il prodotto delle due basi. Quindi la somma tra i due cubi scritta sopra è pari a: (a+b)(a^2+b^2-ab). Si consideri adesso la differenza tra due cubi a^3-b^3; per scomporre questo binomio basta eseguire il procedimento per la scomposizione della somma di due cubi, con la differenza che il trinomio presenta il prodotto delle basi con il segno positivo e va moltiplicato per la differenza delle basi. Si ottiene dunque: (a-b)(a^2+b^2+ab).

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Un quadrato di binomio è il risultato di un binomio elevato al quadrato. Per scomporre il quadrato di binomio, basta riconoscere i due quadrati e il doppio prodotto. Se abbiamo a^2+2ab+b^2, notiamo che a^2 è il quadrato di a, b^2 è il quadrato di b e 2ab è il doppio prodotto tra a e b. Quindi la scomposizione è (a+b)^2.

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Un quadrato di trinomio si scompone similmente al quadrato di un binomio: dobbiamo riconoscere tre quadrati, e poi i doppi prodotti. Consideriamo il polinomio 4a^2+9b^2+c^2-12ab+4ac-6bc; si può notare come 4a^2 è il quadrato di 2a, 9b^2 il quadrato di 3b e c^2 quello di c; per stabilire i segni dei prodotti, basta considerare il prodotto tra i vari termini e i relativi segni risultanti. Il polinomio in questione, scomposto, è: (2a-3b+c)^2.

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Un trinomio notevole è un trinomio di questo tipo: a^2+Sa+P, dove S sta per somma e P per prodotto. Per scomporre questo trinomio, basta trovare due numeri x e y tali che, sommati, diano risultato S (x+y=S), e che, moltiplicati, diano risultato P (xy=P). È opportuno trovare prima tutte le coppie di fattori che soddisfino la relazione xy=P (ovviamente 3*2 = 2*3, quindi una delle due espressioni non la scriviamo) e, in seguito, tra queste, quelle che soddisfino x+y=S. Ad esempio si ha: x^2-5x+6. La somma S vale -5 e il prodotto P vale 6. Poiché 6= 6*1, 3*2, -1*-6, -3*-2, tra queste coppie, solo -3*-2 soddisfa entrambe le equazioni xy=P e x+y=S. Dunque il trinomio risulta scomposto: (x-3)*(x-2).

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Il raccoglimento totale permette di mettere in evidenza quei fattori che sono presenti in ogni termine del polinomio. Ciò è particolarmente utile se si cerca di risolvere un'equazione di grado n, o per semplificare le frazioni. Supponiamo di avere l'equazione 48x^3+12x^2+6x=0; possiamo mettere in evidenza il termine 6x, trasformando l'espressione in una equivalente, che si ottiene moltiplicando 6x per un termine tra parentesi che sarebbe l'intero polinomio, i cui termini sono stati divisi per 6x, ottenendo: 6x (8x^2+2x+1)=0. L'equazione ora è semplificata. Il raccoglimento parziale, a differenza di quello totale invece, si utilizza quando non è possibile mettere in evidenza un fattore che sia comune a tutti i termini del polinomio. Per esempio nel polinomio ab+ad+bc+cd, si può mettere in evidenza la lettera a tra i primi due termini e la lettera c tra gli altri due, avendo così: a (a+d)+c (b+d).

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Qualora un polinomio non risulti essere scomponibile nei modi sopra indicati, si può cercare di scomporlo con il metodo di Ruffini. Poiché è un metodo abbastanza lungo, è preferibile, dove possibile, utilizzare i metodi precedentemente descritti. Si inizia ordinando il polinomio secondo potenze decrescenti (per esempio x^3-x^2-4). Si trovano tutti i divisori del termine noto (divisori di -4: ±4, ±2, ±1), si pone il polinomio = 0 e si sostituisce ogni divisore al posto dell'incognita nell'equazione appena ottenuta (ponendo il polinomio = 0). Il valore che soddisfa l'equazione scomporrà il polinomio (chiamiamo n tale valore). Si scrivono i coefficienti dei vari monomi che compongono il polinomio (qualora mancasse un termine, scrivere 0; in questo caso: 1 -1 0 -4); adesso bisogna costruire una tabella simile a quella in figura e seguire le istruzioni, presenti nella stessa. Le lettere indicano l'operazione da compiere.

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