Come semplificare le funzioni esponenziali

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La funzione esponenziale è uno dei concetti matematici più difficili, per via della sua rappresentazione sul piano cartesiano e la difficoltà delle equazioni in cui viene inserita. Generalmente questo argomento viene trattato alle superiori per affrontare lo studio di funzione ma è molto importante approfondirlo durante lo svolgimento delle equazioni. La funzione esponenziale, graficamente si comporta molto similmente a mezzo ramo di parabola ma il suo andamento è molto più rapido. In questa guida vi mostrerò, utilizzando un esempio, come semplificare le funzioni esponenziali in pochi passaggi.

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Occorrente

  • Carta e penna
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Rapporto esponenziale-logaritmo

Per eseguire la semplificazione è necessario ricordare il tipo di rapporto che lega la funzione esponenziale al logaritmo. Il rapporto che c'è tra queste due funzioni è lo stesso che intercorre tra il quadrato di un numero e la radice dello stesso numero alla seconda: sono opposte. L'esponenziale consiste generalmente di un numero, come il numero di nepero o un numero naturale, al cui esponente vi è un'incognita. Grazie alla funzione logaritmo, è possibile ricavare l'incognita esponente, ponendo davanti alla base dell'esponenziale un log con la stessa base. Il rapporto scritto come formula è il seguente: a^x=b e x=log (in base a) b. Poiché i due si annullano otterremo l'incognita desiderata per svolgere la nostra funzione o equazione in modo semplice.

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Risoluzione con le potenze

In caso ci trovassimo di fronte ad una equazione esponenziale semplice, ossia nella quale dall'altra parte dell'uguale abbiamo un numero che è palesemente la potenza della base dell'esponenziale non ci resta che convertire quel numero stesso in potenza. A questo punto ottenendo una stessa base a sinistra e destra dell'uguale non ci resta che eliminare le basi e risolvere la nuova equazione che ha l'incognita ed il numero ottenuto. Ad es: 2^x= 32 è la nostra funzione. Trasformiamo il 32 in 2^5 e sostituiamolo al numero, ottenendo 2^x=2^5. Basi uguali si possono eliminare per cui rimane: x=5 che è soluzione finale della funzione.

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Risoluzione con il log

Il logaritmo ci viene in aiuto nel caso in cui ci sono termini con basi diverse. Per risolvere l'equazione è necessario scegliere una base di cui fare il logaritmo, facendo attenzione che le basi non siano tra loro multiple, ed apporre il logaritmo ad ognuna delle basi. Ad es: 3^2x=5. Ovviamente sia 3 che 5 sono basi diverse ed il 5 non è multiplo di 3, per cui eliminiamo la base 3 con il logaritmo in modo che sia possibile ottenere l'incognita. Applicando il logaritmo a destra e sinistra dell'uguale otteniamo: log (in base 3)3^2x=log (in base 3)5. Il termine a sinistra si semplifica e otteniamo 2x=log (in base 3)5. Per trovare il valore della x non ci resta che dividere log (in base 3)5 per 2 e l'equazione è terminata.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per praticità, ogni volta che affrontiamo funzioni esponenziali, scriviamoci vicino il rapporto con il logaritmo
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