Come scomporre con Ruffini

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
18

Introduzione

Ruffini è uno degli argomenti più odiati da qualsiasi studente, sia esso di medie che di liceo, tuttavia è il metodo di scomposizione di un polinomio di grado "n" più generale possibile ed è indispensabile conoscerlo. In questa guida illustreremo come scomporre polinomi complessi con Ruffini ma anche quando è possibile evitare di utilizzarlo, prendendo comode "scorciatoie".

28

Occorrente

  • Eserciziario di matematica
38

Analisi del polinomio

Esistono due metodi per effettuare la scomposizione dei polinomi e questo è utile ricordarlo. Il primo metodo si ottiene attraverso i prodotti notevoli . Questi ultimi sono semplici da utilizzare quando siamo in presenza di un polinomio di secondo grado. Dopo questa prima "scrematura" è intuitivo pensare che Ruffini vada applicato a polinomi di grado 3 o superiore. Preliminarmente è importante conoscere il Teorema Fondamentale dell'Algebra, che semplicisticamente afferma che un polinomio P (x) di grado "n" ha "n" radici, ovvero esistono "n" numeri (che possono anche essere coincidenti" che annullano il polinomio. Un polinomio di secondo grado avrà due radici (se siamo in presenza di un quadrato di binomio ad esempio abbiamo due soluzioni coincidenti), uno di terzo grado ne avrà tre e così via. Analizziamo adesso la Regola di Ruffini.

48

Presentazione della Regola

La Regola di Ruffini si avvale del Teorema Fondamentale dell'algebra nel seguente modo: bisogna individuare un numero "a" che sia radice del polinomio. Questo può essere fatto "per tentativi" sostituendo all'incognita i sottomultipli del termine noto (quello di grado "0", ovvero non moltiplicato per l'incognita). In questo modo si potrà applicare una regola che permette di abbassare di un grado il polinomio iniziale ed eventualmente iterare il processo. In matematica è fondamentale applicare ciò che si impara, quindi vediamo un esempio pratico.

Continua la lettura
58

Esempio pratico

Ipotizziamo di avere un polinomio di grado 3 come P (x)=x^3+3x^2-4.
Cerchiamo un numero che annulli il nostro polinomio partendo dai più semplici. È ovvio che sostituendo x=1 il polinomio dà come risultato 0 (1^3+1^2-4=0). Abbiamo trovato che P (x) è divisibile per x=1 e quindi x-1=0. Adesso dobbiamo trovare un polinomio di grado n-1 (dove n=3) che chiamiamo Q (x) tale che risulti (x-1) Q (x)=P (x).
Per trovare Q (x) prepariamo una tabella che abbia 4 colonne e 3 righe. Nella prima riga andremo a scrivere in ordine: Il termine che annulla il polinomio e successivamente tutti i coefficienti del polinomio in ordine. Quindi prima il coefficiente di x^3 (1), quello di x^2 (3), quello di x (0) ed infine il termine noto -4.

68

Risoluzione della tabella

A questo punto bisogna risolvere la tabella. Prendete il numero in seconda colonna, prima riga (il coefficiente di x^3) e scrivetelo nella stessa colonna, in terza riga. Questo numero andrà moltiplicato per la radice che abbiamo trovato inizialmente. Il prodotto andrà riscritto in terza colonna, seconda riga, e sommato al numero scritto in terza colonna, prima riga (nel nostro caso dobbiamo eseguire la somma 3+1=4). Il risultato andrà riportato in terza colonna, seconda riga. A questo punto moltiplichiamo di nuovo il numero ottenuto per la nostra radice e riportiamolo in quarta colonna, seconda riga (1x4=4) e sommiamo al coefficiente in terza colonna, prima riga ottenendo 4. Scriviamo il risultato in terza colonna, terza riga. Se tutto è andato bene, avremmo ottenuto i coefficienti del polinomio Q (x), in questo caso di secondo grado. Per verificare che l'operazione sia corretta, scriviamo l'ultimo numero che abbiamo ottenuto in quarta colonna, seconda riga e sommiamolo al termine noto di P (x). In questo caso -4+4=0, ovvero il resto del polinomio è nullo. Perfetto! Abbiamo trovato che x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4). Per terminare la fattorizzazione abbiamo due opzioni: reiterare Ruffini prendendo in esame il polinomio di secondo grado o, se abbiamo una vista abbastanza acuta, notare che Q (x) non è altro che un quadrato di binomio. Pertanto possiamo scrivere P (x)=(x-1)(x+2)^2Con la pratica applicare Ruffini diventerà un gioco da ragazzi.

78

Guarda il video

88

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricordiamo sempre che quando dobbiamo impostare la tabella dobbiamo indicare i coefficienti delle x^n che non compaiono (in questo caso 0)
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come dividere i polinomi con la regola di Ruffini

I polinomi rappresentano sempre un argomento complicato da affrontare quando ci si trova a frequentare un istituto scolastico dove la matematica ha un'importanza fondamentale (come il liceo scientifico). Con il termine polinomio si intende la somma o...
Superiori

Come Si Scompongono I Polinomi

Con questa guida riuscirai a comprendere come si scompongono i polinomi, ed in particolare ad imparare e mettere in pratica regole matematiche come la somma di due cubi, la differenza tra due cubi, il quadrato di binomio e trinomio, la differenza tra...
Superiori

Come scomporre polinomi di terzo grado

In quest'articolo spiegherò come scomporre un polinomio di terzo grado; cercherò di fornire utili strumenti e di dare chiarimenti con semplici esempi. Parto dalla considerazione che la scomposizione o fattorizzazione di un polinomio non sempre è un...
Superiori

Teorema di Ruffini: dimostrazione

All'interno della guida che andremo a sviluppare ci occuperemo di matematica, in quanto, come abbiamo indicato nel titolo che contraddistingue questa guida, ci concentreremo su un teorema specifico: il teorema di Ruffini. Il nostro obiettivo sarà quello...
Superiori

La scomposizione di polinomi in fattori

Scomporre i polinomi in fattori significa riscrivere un polinomio in maniera semplificata per poterlo poi elaborare più semplicemente e velocemente, senza che se ne pregiudichi la corretta equivalenza con il polinomio originale. Nel corso del tempo sono...
Superiori

Calcolo letterale tra polinomi

Il polinomio viene definito come un'espressione algebrica rappresentata dalla somma di uno o di più monomi denominati termini. In base al numero di questi ultimi, il polimonio cambia nome: se sono due sarà un binomio, se non tre trinomio e via dicendo....
Superiori

Come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali

In questo tutorial vi vogliamo insegnare, in modo chiaro e semplice, come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali. Tante volte, specialmente tra gli studenti di primo e secondo anno delle superiori potrebbero avere problemi...
Superiori

Come scomporre un trinomio di terzo grado

Se dovete scomporre un trinomio di terzo grado e non sapete come comportarvi, non è il caso di preoccuparsi. Tramite questo tutorial, infatti, vi spiegheremo dettagliatamente i due differenti metodi di scomposizione (detta anche fattorizzazione) di un...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.