Come risolvere una proporzione continua in matematica

di Francesco Naddeo difficoltà: media

Come risolvere una proporzione continua in matematica In matematica con il termine proporzione si indica il rapporto tra due numeri reali a e b, cioè il quoziente del primo numero rispetto il secondo: a / b. Allo stesso tempo con il medesimo termine si indica anche la relazione che può esistere tra quattro numeri, ovvero quando il rapporto tra due numeri a e b è uguale al rapporto tra due numeri c e d. In formula ciò viene indicato nel seguente modo: a: b = c: d. In questa guida vedremo prima come risolvere una proporzione generica, ed in seguito illustreremo come risolvere un caso particolare che è la proporzione continua.

Assicurati di avere a portata di mano: proporzione continua conoscere le proprietà delle proporzioni

1 Nei problemi che vengono solitamente posti negli esercizi scolastici uno dei quattro termini della proporzione non è noto e viene perciò indicato con il simbolo x; sarà di conseguenza compito dello studente scoprire qual è il valore dell'incognita. Per la soluzione si ricorre alla proprietà fondamentale delle proporzioni che afferma che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (tale proprietà si ricava immediatamente dalla definizione); naturalmente gli estremi sono il primo e l'ultimo numero, mentre i medi sono il secondo ed il terzo. In formula se la proporzione è a: b = c: d avremo che a * d = b * c. Ad esempio nella proporzione 16 : 8 = 6 : 3, gli elementi estremi sono 16 e 3 mentre gli elementi medi sono 8 e 6. È infatti immediato verificare che 16 * 3 = 48 così come 6 * 8 = 48.

2 Introduciamo ora un'ulteriore definizione: una proporzione si dice continua quando i medi hanno lo stesso valore; negli esercizi i medi saranno anche l'incognita, ovvero sarà necessario determinarne il valore. Ad esempio 12: x = x : 3 è una proporzione continua. Per risolvere tale proporzione si utilizza quindi la proprietà fondamentale, che afferma che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, da cui si ricava che x * x = 3 * 12. Di conseguenza troviamo che x ^ 2 = 36, ed effettuando la radice quadrata di 36 ricaviamo che x = 6.

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3 Può accadere anche che ci si trovi di fronte ad un proporzione nella quale le due incognite non sono i medi, come ad esempio x : 8 = 18: x.  In questo caso, niente paura! Dovrai solamente fare in modo che le tue x diventino medi, ovvero dovrai applicare la proprietà dell'invertire, cioè dovrai invertire i membri della proporzione ottenendo 8: x = x : 18.  Approfondimento Come svolgere le proporzioni (clicca qui) A questo punto potrai procedere nel modo che ti ho illustrato in precedenza, cioè moltiplicando x per x e 18 per 8.  Otterrai che x ^ 2 = 144, e ponendo entrambi sotto radice avrai x = 12.. 

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