Come risolvere una proporzione continua in matematica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica con il termine proporzione si indica il rapporto tra due numeri reali a e b, cioè il quoziente del primo numero rispetto il secondo: a / b. Allo stesso tempo con il medesimo termine si indica anche la relazione che può esistere tra quattro numeri, ovvero quando il rapporto tra due numeri a e b è uguale al rapporto tra due numeri c e d. In formula ciò viene indicato nel seguente modo: a: b = c: d. Nella seguente guida vedremo prima come risolvere una proporzione generica, ed in seguito illustreremo come risolvere un caso particolare che è la proporzione continua.

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Occorrente

  • proporzione continua
  • conoscere le proprietà delle proporzioni
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Nei problemi che vengono solitamente posti negli esercizi scolastici uno dei quattro termini della proporzione non è noto e viene perciò indicato con il simbolo x; sarà di conseguenza compito dello studente scoprire qual è il valore dell'incognita. Per la soluzione si ricorre alla proprietà fondamentale delle proporzioni, che afferma che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (tale affermazione si ricava immediatamente dalla definizione); naturalmente gli estremi sono il primo e l'ultimo numero, mentre i medi sono il secondo ed il terzo. In formula se la proporzione è a: b = c: d avremo che a * d = b * c. Ad esempio nella proporzione 16 : 8 = 6 : 3, gli elementi estremi sono 16 e 3, mentre gli elementi medi sono 8 e 6. È infatti immediato verificare che 16 * 3 = 48 così come 6 * 8 = 48.

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Introduciamo ora un'ulteriore definizione: una proporzione si dice continua quando i medi hanno lo stesso valore; negli esercizi i medi saranno anche l'incognita, ovvero sarà necessario determinarne il valore. Ad esempio 12: x = x : 3 è una proporzione continua. Per risolvere tale proporzione si utilizza quindi la proprietà fondamentale, che afferma che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, da cui si ricava che x * x = 3 * 12. Di conseguenza troviamo che x ^ 2 = 36, ed effettuando la radice quadrata di 36 ricaviamo che x = 6.

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Può certamente accadere anche che ci si trovi di fronte ad un proporzione nella quale le due incognite non sono i medi, come ad esempio x : 8 = 18: x. In questo caso, niente paura! Dovremo solamente fare in modo che le nostre x diventino medi, ovvero dovremo applicare la proprietà dell'invertire, cioè dovremo invertire i membri della proporzione ottenendo 8: x = x : 18. A questo punto potremo procedere nel modo illustrato in precedenza, cioè moltiplicando x per x e 18 per 8. Otterremo che x ^ 2 = 144, e ponendo entrambi sotto radice avremo x = 12. Buon lavoro!

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Nei problemi che vengono solitamente posti negli esercizi scolastici uno dei quattro termini della proporzione non è noto e viene perciò indicato con il simbolo x; sarà di conseguenza compito dello studente scoprire qual è il valore dell'incognita.
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