Come risolvere una congruenza lineare

tramite: O2O
Difficoltà: media
15

Introduzione

Quando si ha a che fare con dei calcoli matematici, trovare il metodo più rapido per arrivare alla soluzione può essere davvero difficile. Si tratta di sviluppare nella maniera giusta una serie di calcoli, riducendo al minimo il rischio di errore e riuscendo a trovare una soluzione ben precisa, che possa essere accettata e conservata o riutilizzata per altri calcoli. Nel caso delle congruenze lineari, la questione è più semplice di quanto si possa pensare. Risolvere questo tipo di equazioni, infatti, può essere davvero rapido, a patto che si apprenda il metodo giusto. Per fare ciò, occorre esercitarsi a lungo, così da acquisire una certa dimestichezza con i calcoli. Ecco come, allora, una semplicissima e pratica guida per risolvere una congruenza lineare in pochi passaggi.

25

Occorrente

  • Carta
  • Penna
  • Calcolatrice
35

Contrariamente a ciò che può apparire ad un primo sguardo, le congruenze lineari altro non sono che delle proposizioni. Si definisce, infatti, con il nome di congruenza lineare una qualsiasi espressione, nella forma ax ≡ b (mod n). Posto questo postulato, si accetta che a, b, n Z, e x è una variabile che può assumere qualsiasi valore fra i numeri interi. Occorre, adesso, capire quali sono le possibili soluzioni di un'espressione così posta.

45

Il tipo di congruenza così risolta ammette una sola soluzione, da poter poi inserire nel piano cartesiano per osservarne la proiezione. Il metodo di risoluzione è davvero intuitivo e può essere applicato in tutti i casi in cui ci si trovi davanti ad una equazione diofantea, così da non temere di commettere degli errori e arrivare ad un risultato sicuro.

Continua la lettura
55

Per prima cosa, occorre osservare attentamente l'equazione ax ≡ b (mod n). Per definizione, di congruenza, si ha ax - b multiplo di n, ovvero deve esistere un numero qualsiasi, h, tale che nh = ax - b. Per le regole di cancellazione, è possibile spostare la b a primo membro e "nh" al secondo membro. In questo modo, è possibile ottenere b = -nh + ax. Applicando al contrario le regole dei segni su -nh, si ottiene: b = ax + n (-h). Ora, dato che h è un numero intero, anche -h è un numero intero, come posto precedentemente. Perciò l'espressione diviene b = ax + ny, ovvero ax + ny = b, leggendo al contrario l'uguaglianza. È ovvio, dai passaggi che abbiamo fatto, che esistono delle soluzioni per la congruenza solo se esistono degli x, y in Z che soddisfano questa relazione. Le soluzioni di questo tipo di equazione, detta anche diofantea, esistono, ma solo se MCD(a; b) | c. Ovvero, in ax + ny = b, le soluzioni esistono se e solo se MCD (a; n) | b.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Criteri di congruenza dei triangoli: dimostrazione

In geometria si definiscono congruenti due poligoni che hanno stessa forma e dimensione. In maniera più rigorosa si definiscono congruenti due poligoni che possono essere trasformati l’uno nell’altro tramite operazioni isometriche, di traslazione,...
Elementari e Medie

Caratteristiche del triangolo

Il triangolo è un poligono con tre vertici, tre lati e tre angoli, ed è la figura geometrica che ha meno lati (tre è infatti il minor numero di segmenti necessari a delimitare una superficie chiusa). La scienza che si occupa dello studio del triangolo...
Superiori

Il piano euclideo e le sue trasformazioni geometriche

La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele che afferma che date due rette parallele e tagliate da una trasversale: la somma degli angoli è pari a 180°. Sul piano...
Università e Master

Teorema di Dirichlet: dimostrazione

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fu un matematico tedesco. Nacque a Duren, dove il padre lavorava come direttore all'Ufficio Postale. Il giovane Dirichlet studiò in Germania e in Francia, dove ebbe modo di conoscere molti dei più celebri matematici...
Università e Master

Come risolvere una equazione diofantea

Un'equazione diofantea è un'equazione algebrica in una o più incognite di cui si cercano le soluzioni intere. Prende il nome dal matematico Diofanto, vissuto nel III secolo d. C., noto per l'epitaffio che permette di calcolare l'età della sua morte...
Superiori

La deriva dei continenti in breve

La deriva dei continenti fu esposta durante la riunione dell'Associazione Geologica, tenutasi nel museo di Senckenberg a Francoforte, precisamente il 6 gennaio 1912. La teoria di carattere geologico di Wegener è correlata alla scienza della tettonica...
Elementari e Medie

Come dimostrare il primo teorema di Euclide

In geometria, uno degli argomenti più importanti è il primo teorema di Euclide. Esso può servire per svolgere numerosi problemi ed esercizi, nelle scuole elementari, medie e superiori. Indipendentemente dalla definizione, come dimostrare il primo teorema...
Superiori

Come calcolare l'area di un poligono regolare

In materia geometrica, uno dei primi quesiti da risolvere, è senza dubbio il calcolo dell'area di un poligono regolare. Finché si tratta di triangoli equilateri o quadrati il calcolo risulta essere davvero molto semplice, ma nel caso in cui l'area da...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.