Come risolvere un problema di Cauchy

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il problema di Cauchy consiste nel risolvere un'equazione differenziale parziale su un dominio, in cui sono specificate le condizioni su una parte del perimetro; bisogna dunque risolvere un problema di completamento dei dati e ripristinare le condizioni al contorno mancanti, sulla restante parte del confine. Questo tipo di problema si pone in molte applicazioni industriali, nell'ingegneria o nelle scienze biomediche. Il problema di Cauchy, fornisce ai ricercatori una sfida interessante per eseguire una procedura numerica nell'approssimare la soluzione nel caso particolare dei dati rumorosi. Molti lavori teorici e applicati sono stati proposti su questo argomento, utilizzando la teoria Steklov-Poincaré, metodi di regolarizzazione, il metodo quasi-reversibilità o metodi di errore minimo. Più precisamente, nel metodo qui proposto, si introducono due campi distinti, ciascuno dei quali soddisfa solo uno dei dati specificati. Ecco come risolvere un problema di Cauchy.

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In matematica, un problema di Cauchy richiede la soluzione di un'equazione alle derivate parziali, che risponde ad alcune condizioni che sono date su una ipersuperficie nel dominio. Un problema di Cauchy può essere un problema di valore iniziale, un problema al contorno, o nessuno dei due. Le principali soluzioni connesse con i problemi di Cauchy sono le seguenti: se esiste, anche solo a livello locale, una soluzione; se la soluzione esiste, a quanto spazio appartiene e, in particolare, qual è il suo dominio d'esistenza; se è la soluzione è unica. In quest'ultimo caso, il problema è ben posto, ovvero la soluzione è in un certo senso una funzione continua dei dati iniziali.

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Il problema di Cauchy più semplice è quello dove bisogna trovare una funzione u (x) definita sulla semiretta x ≥ x 0, che deve soddisfare un'equazione differenziale del primo ordine d u / d x = f (x, u), dove f è una data funzione. Prendendo un valore specificato u0a x =x 0, si avrà u (x 0) = u 0. In termini geometrici, ciò significa che, considerando la famiglia di curve integrali dell'equazione nel piano, si deve trovare la curva che passa per il punto.

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Ripetendo il calcolo precedente quasi parola per parola, formulare il problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali ordinarie vale a dire con la condizione iniziale, dove u = u (x) è una funzione con valori in un insieme finito in uno spazio vettoriale E, u (x 0) = u 0 ∈ E, ed f (x, u) è una funzione definita R * E. Qui, di nuovo, le condizioni sono sufficienti per l'esistenza, e l'unicità della soluzione ci dice che il problema è ben posto.

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