Come risolvere un'equazione differenziale

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Questo articolo è rivolto a tutti gli studenti dell'università di matematica, ingegneria e fisica. Un'equazione differenziale è un'equazione della forma y^(n (x))=f (y^{(n-1)},.., y'', y', y, x) dove f (y^{(n-1)},..., y'', y', x) è una funzione che dipende dalle derivate di y fino all'ordine (n-1)-esimo e dalla variabile nota x, che di solito rappresenta il tempo per i fisici. La derivata di ordine più alto in questo caso è y^(n) quindi l'equazione si dirà di ordine n. Vuole essere una piccola guida su come risolvere le equazioni differenziali; chiaramente non esaustiva anche perché le equazioni differenziali non ammettono un metodo preciso di risoluzione: variano di genere in genere ed alcuni casi non si possono risolvere nemmeno con dei passaggi accurati, ma solo utilizzando degli algoritmi da applicare con il computer
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Integrazione diretta

Esaminiamo il metodo: integrazione diretta per equazioni differenziali omogenee e non omogenee. Consideriamo un'equazione del tipo y'+ g (x) y=h (x) dove g (x) e h (x) sono funzioni dipendenti dalla sola variabile x. Se h (x)=0 l'equazione è detta omogenea altrimenti no. In generale bisogna trovare una certa funzione i (x) tale che venga verificata la (7); risolvendola si verifica che i (x)=e^{\int g (x) dx} (cioè il numero di Nepero elevato all'integrale di g (x)). Quindi riprendendo l'equazione di partenza abbiamo la (8) da cui otteniamo la (9).
L 'esempio (10) in figura è svolto interamente.

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Equazioni differenziali

Il tipo di equazioni differenziali del primo ordine sono le equazioni differenziali esatte. Un equazione del primo ordine si può sempre ricondurre alla forma d (x, y) dx+p (x, y) dy=0. In questo caso la soluzione si può trovare se viene verificata la condizione (16). Se accade questo si parlerà di differenziale esatto e l'integrale generale dell'equazione originaria sarà dato dalla (17). Seguiamo l'esempio dell'equazione (18), dalla (19) uguagliando termine a termine si evince la (20) e la (21). Quindi la soluzione finale è x^3-2xy+c_1=c cioè y=(c_1-c+x^3)/(2x).

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un' equazione differenziale

Le preconoscenze per risolvere un'equazione differenziale sono: saper risolvere un integrale (che di solito si spiega alle scuole superiori), risolvere una forma differenziale (corso di analisi uno all'università), risolvere dei sistemi (analisi delle scuole superiori), risolvere derivate parziali (esame di analisi uno all'università) ed infine calcolo dei determinanti (esame di geometria uno all'università).
La notazione utilizzata nella presenta guida è quella tipica di chi scrive matematica. Con il simbolo ^ indichiamo la parola "alla" con il simbolo _ indichiamo la parola "con", rispettivamente sono l'apice e il pedice di una certa notazione. Il simbolo y_1^n si leggerà quindi "y con 1 alla n".

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Forma esplicita

Abbiamo visto nel punto precedente come si risolvono gran parte delle equazioni differenziali del primo ordine nella forma esplicita y'=f (x, y), ma cosa succede se abbiamo una funzione da cui non è possibile estrarre y'? Cioè come si risolvono le equazioni f (x, y, y')=0? In questo caso distinguiamo ancora dei sottogeneri da risolvere man mano con metodi diversi. Esse si chiamano equazioni differenziali implicite. Il primo tipo sono le equazioni differenziali y=f (x, y'). In questo caso è possibile ricondursi alla forma normale (22) che si può esplicitare rispetto a p' per poi ritornare alle variabili iniziali risostituendo tutto. Il (23) è un esempio da cui si arriva ad un'equazione a variabili separabili da cui si ottiene p=xc che possiamo sostituire nell'equazione della y dipendente da p.

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Le equazioni differenziali implicite

L'ultimo tipo analizzato, per le equazioni differenziali implicite, è un'equazione della forma x=f (y, y'), cioè esplicitabile rispetto alla variabile x. In questo caso bisogna assumere x=x (y) e derivare tutto rispetto a y ottenendo la (27), che è un'equazione riconducibile alla forma normale. Dall'esempio (28) si evince molto di più che da esempi teorici.

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il metodo wronskiano

Concludiamo questa guida con un'altra famiglia di equazioni da risolvere con il metodo del determinante wronskiano. Gli altri tipi di equazioni differenziali sono di difficile risoluzione e richiederebbero pagine e pagine di argomentazione, questo che vi sto per proporre è il metodo più usato ed incontrato nella pratica. Iniziamo con il descrivere equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti omogenee. Esse sono della forma a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}\ldots a_ny=0. Si verifica facilmente che se y_1 è una soluzione per l'equazione, anche cy_1 è soluzione per qualsiasi costante c. Inoltre se anche y_2 è soluzione, possiamo considerare c_1 y_1+c_2 y_2. Essa è ancora soluzione della nostra equazione. Da queste semplici considerazioni è nata l'idea di considerare una combinazione lineare di n integrali particolari soluzione generale per la nostra equazione differenziale. Continuando in questo senso i matematici hanno trovato che esiste un valore di p tale che y=e^{px} sia soluzione per la nostra equazione di ordine n. Sostituendo nell'equazione differenziale a coefficienti costanti si ha la (29) che è chiamata equazione ausiliaria, risolvendola otteniamo i valori di p per cui è possibile trovare l'integrale particolare. Ma perché abbiamo parlato di determinante wronskiano? Perché la soluzione generale è valida se le funzioni y_1, ..., y_n sono linearmente indipendenti. In caso contrario trovato un integrale particolare f (x) possiamo scegliere come altri integrali le funzioni x f (x), x^2 f (x),..., x^n f (x) che hanno la proprietà cercata. Per verificare l'indipendenza bisogna calcolare il determinante wronskiano e verificare che esso è diverso da zero. Nel caso generico supponendo y=c_1 y_1+c_2 y_2+ c_3 y_3 +... + c_n y_n soluzione generale della nostra equazione il determinante wronskiano è (30).
Per esempio osserviamo la (31), dalla quale si hanno le funzioni y_1=e^x, y_2=e^{-x} e y_3=e^{-x}.
Sembrerebbero soluzioni dell'equazione data, ma purtroppo non sono indipendenti come si verifica facilmente calcolando il determinante wronskiano. Allora al posto di y_3=e^{-x} bisogna scegliere un'altra funzione la quale è y_3=xe^{-x} come ci insegna la precedente osservazione. L'integrale generale è quindi y=c_1 e^x+c_2e^{-x}+c_3xe^{-x}.
Se l'equazione differenziale non è omogenea, cioè del tipo a_0y^(n)+a_1y^(n-1)+a_2y^(n-2)+...+ a_n y=b (x), bisogna trovare un'integrale particolare che la risolve. Sia esso ad esempio v (x), in questo caso, l'integrale finale è dato dalla somma dell'integrale generale dell'omogenea con quello particolare della non omogenea.
Supponiamo infatti di voler risolvere l'equazione y'''-5y''+6y=x. Bisogna trovare una v (x) che verifichi questa equazione. Si vede facilmente che y=v (x)=1/6x. Poi si considera l'equazione omogenea y'''-5y''+6y=0 e si trovano i valori di p con l'equazione ausiliaria (32) quindi y_1=1, y_2=e^{-2x} e y_3=e^{-3x} che, facendo il determinante wronskiano, risultano linearmente indipendenti.

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L'integrale generale

L'integrale generale è quindi dato da y=c_1+c_2e^{-2x}+c_3e^{-3x}+1/6x.
Trovare la v (x) non è un'impresa semplice e non esiste un metodo specifico. Vi sarà utile però il seguente consiglio che purtroppo fa eccezione. Se la b (x) è una funzione di un certo tipo anche la v (x) è una funzione derivante dalla stessa famiglia. Ad esempio se la b (x) è un seno dobbiamo aspettarci che la v (x) sia una combinazione di seni e coseni.

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