Come risolvere le disuguaglianze con valore assoluto

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Le disuguaglianze sono espressioni che stabiliscono una relazione di ordine sull'insieme dei numeri reali oppure su un suo sottoinsieme. La disuguaglianza è intesa in senso stretto se contiene il simbolo > (maggiore di) o < (minore di) e non contiene il simbolo = (uguale).
Tale espressione può contenere anche l'operatore "valore assoluto". Questo è definito come una funzione che associa a x un numero reale non negativo. Se quindi x è un numero reale, il valore assoluto di x (che si indica con la simbologia |x|) è uguale a x stesso se x è non negativo e a -x se x è negativo.
Risolvere la disequazione associata alla disuguaglianza significa quindi identificare l'insieme dei numeri per cui tale disuguaglianza è valida.
Vediamo ora come risolvere le disequazioni nel caso in cui contengano appunto il valore assoluto e si presentino in questo modo:
|F (x)| > k oppure |F (x)| < k,
dove k è un numero che può essere sia positivo che negativo o nullo.
In questa guida vedremo perciò come risolvere questo tipo di disuguaglianze con valore assoluto.

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Consideriamo per prima cosa le disequazioni del tipo |F (x)|Osserviamo k. Se esso è un numero inferiore a zero, concluderemo che la disequazione non ammette soluzioni. Ciò accade proprio per la definizione di valore assoluto, che è un numero sempre non negativo.
Se invece k è un valore maggiore di zero, la disequazione sarà equivalente al sistema:
F (x) F (x)>-k

.

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Resta da discutere la possibilità in cui k sia uguale a zero e la diseguaglianza sia in senso non stretto e contenga il segno < (minore di). Se invece contiene il segno > (maggiore di) la soluzione potrà essere ricavata direttamente come nel passo precedente.
In questo caso la disequazione si trasforma nell'equazione F (x) = 0, visto che abbiamo detto che la disequazione |F (x)| < 0 non ha soluzione.

Continua la lettura
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Consideriamo in secondo luogo le disequazioni del tipo |F (x)| > = k.
Osserviamo k. Se esso è un numero inferiore a zero, concluderemo che la disequazione è sempre soddisfatta, di nuovo per la definizione di valore assoluto.
Se invece k è un valore maggiore di zero, la soluzione delle disuguaglianze con valore assoluto è rappresentata dall'unione di due insiemi, quello per cui F (x) > k e quello per cui F (x) < -k.
Anche in questo caso se la disuguaglianza è in senso non stretto (ossia contiene l'uguale) il valore k dovrà essere compreso nella soluzione. Risolvendo questo sistema, si troverà la soluzione della disequazione. Nel caso in cui le disuguaglianze siano in senso non stretto (ossia contengano l'uguale) il valore k dovrà essere compreso nella soluzione.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Affidiamoci comunque a un buon manuale di matematica per vedere meglio qualche esempio.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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