Come risolvere l'integrale di una funzione razionale

tramite: O2O
Difficoltà: media
15

Introduzione

Saper calcolare gli integrali di una funzione razionale rappresenta uno degli strumenti fondamentali non solo per un matematico, ma anche per ogni geometra, ingegnere o fisico. Acquisire pratica e dimestichezza con le tecniche di risoluzione richiede pratica e pazienza e l’argomento potrebbe inizialmente risultare ostico, ma se non vi lascerete scoraggiare ben presto risolvere l'integrale di una funzione razionale sará come bere acqua fresca.

25

Prima di entrare nel dettaglio daremo un’occhiata ad alcuni casi semplici, in cui la sostituzione ordinaria funziona speditamente. Quindi affronteremo ciascuno dei suddetti metodi. Sostituzione. In taluni casi speciali gli integrali delle funzioni razionali possono essere trovati attraverso semplici sostituzioni. Il caso piú facile si presenta quando il numeratore è derivata del denominatore. Divisione Polinomiale. Quando una sostituzione non ci aiuta a risolvere l’integrazione di una data funzione razionale, l’approccio sistematico consiste nel ricorrere ad espansioni di frazioni parziali. Poiché questo metodo funziona per le funzioni razionali proprie, se l’integranda è una funzione razionale impropria, dobbiamo dapprima esprimerla come un polinomio piú una funzione razionale propria. Ossia se vogliamo integrare p (x)/q (x) ed il grado del numeratore p non è inferiore al grado del denominatore q, il nostro primo passo consiste nello scrivere la funzione dell’immagine 3, laddove f è un polinomio ed il grado del resto r è inferiore al grado di q.

35

Decomposizione in Fratti Semplici. Lo scopo di una decomposizione è di prendere una funzione razionale propria ed esprimerla come la somma di funzioni razionali piú semplici. In pratica si tratta di invertire l’addizione ordinaria di razionali. Prendiamo ad esempio l’immagine 4. Quel che dobbiamo fare ora è invertire: iniziando dal lato destro dell’equazione, scomporla per ottenere il lato sinistro. Ció si ottiene passo per passo, come segue. Passo 1: Fattorizzare il denominatore in fattori lineari. Passo 2: Espandere usando coefficienti indeterminate A, B, C, . . .. Questo implica riscrivere la funzione razionale come una somma di termini che associano a ciascun fattore il corrispondente fratto del denominatore. Passo 3: Risolvere le frazioni. Moltiplicare entrambe il lati per il denominatore, di modo che non rimangano frazioni. Passo 4: Risolvere i coefficienti. Passo 5: Sostituire A, B, C, . .. Nell’espansione.

Continua la lettura
45

Completare il Quadrato. Quando si ha a che fare con fattori elevati alla potenza, spesso è utile riscriverli in una forma che non coinvolga esplicitamente un termine lineare (x). Per illustrare questo procedimento, consideriamo il polinomio x2 − 6x + 8. Prendiamo il coefficiente di x, dividiamolo per 2 ed eleviamolo al quadrato per ottenere (−6/2)2 = 32 = 9. Sommiamo e sottraiamo questo numero e fattorizziamo il risultato per ottenere x2 − 6x + (9 − 9) + 8 = (x2 − 6x + 9) − 1 = (x − 3)2 − 1. Abbiamo appena riscritto il quadratico originale in una forma priva di termine lineare. Se il coefficiente del termine x2 non è 1, dobbiamo fattorizzarlo prima di iniziare.

55

Integrazione Termine per Termine. Una volta scritta una funziona razionale come la somma di un polinomio ed una decomposizione in fratti semplici, per trovare l’integrale possiamo integrare termine per termine. L’integrale di un polinomio è di facile risoluzione, cosí come l’integrale di una funzione razionale propria con un denominatore lineare. Per integrali con quadratici nel denominatore, lo strumento è la formula dell’immagine 6, che deriva dalla formula di integrazione di base usando la sostituzione w = x/a. Se l’elevazione al quadrato riguarda un termine lineare, possiamo dapprima eliminarlo, completandone il quadrato.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come rappresentare i numeri razionali su una retta

In matematica i numeri razionali sono tutti quei numeri che possono essere espressi anche sotto forma di frazione x/y, dove la x è detta numeratore e la y denominatore. Per ottenere un numero razionale, però, è necessario che questi due membri della...
Elementari e Medie

Come scrivere un numero razionale come quoziente di due numeri interi

In matematica, i numeri vengono distinti in diversi insiemi. Due di questi insiemi sono i numeri interi e i numeri razionali. In questa guida vediamo prima di tutto la definizione di insieme di numeri interi e di numeri razionali e le differenze tra questi...
Università e Master

Studio grafico analitico di una funzione razionale

Lo studio di una funzione algebrica è uno degli aspetti più difficile del programma di matematica e geometria delle scuole superiori. Bisogna tenere conto di diversi aspetti durante lo studio di funzione. Il primo consiglio è quello di fare molta attenzione...
Superiori

Come verificare il campo di esistenza o dominio di una funzione

In questo tutorial di oggi vi spiegheremo come verificare il campo di esistenza o dominio di una funzione. La verifica della sua formulazione esatta è infatti un procedimento essenziale da compiere non compromettendo l'analisi complessiva delle funzioni....
Superiori

Come trovare il dominio nelle funzioni razionali fratte

Nel corso dei propri studi, sarà capitato a tutti di doversi imbattere in problemi matematici con la presenza di funzioni, segni e dominio. In questo articolo cercheremo di capire come risolvere e trovare il dominio nelle funzioni razionali fratte, ovvero...
Superiori

Tipologie di equazioni e risoluzione

All'interno della presente guida, andremo a occuparci di matematica. Per essere più precisi, l'argomento fondamentale saranno le equazioni. Come avrete compreso attraverso la lettura del titolo stesso della nostra guida, ora andremo a spiegarvi le tipologie...
Superiori

Come risolvere una disequazione irrazionale fratta

Fra le varie tipologie di disequazioni che si possono incontrare quando si studia l'algebra, c'è la disequazione irrazionale fratta. Essa possiede l'incognita nel divisore di una frazione. Innanzitutto, è davvero importante riconoscere la differenza...
Superiori

Come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali

In questo tutorial vi vogliamo insegnare, in modo chiaro e semplice, come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali. Tante volte, specialmente tra gli studenti di primo e secondo anno delle superiori potrebbero avere problemi...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.