Come risolvere l'integrale di un modulo

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica consiste in una disciplina non particolarmente amata da tutti quanti gli studenti. Le difficoltà che comporta, infatti, scoraggiano una gran parte di studenti. Sono molti, pertanto, coloro che si rifiutano di approfondirla e di comprenderla. Tuttavia, possiamo affermare che in realtà la matematica deve essere presa come una sfida ed è necessario applicarsi fino alla completa risoluzione del problema. Uno degli argomenti maggiormente difficili ed allo stesso tempo odiato dagli studenti è sicuramente la risoluzione dell'integrale. In particolar modo, l'integrale di un modulo è ancora più complicato e sono necessari diversi calcoli per arrivare alla risoluzione. In questa breve guida vi spiegheremo, appunto, come risolvere l'integrale di un modulo.

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E' consigliabile cominciare dalla funzione |x|, ossia dalla più semplice

Come esempio di applicazione è sempre buona regola partire dalla funzione più semplice: x. Calcolare l'integrale della funzione |x|, in buona sostanza vuol dire trovare una funzione primitiva F (x), la cui derivata sia esattamente pari a |x|. Per prima cosa è necessario definire il valore assoluto. Questo concetto può essere magggiormente approfondito su uno dei tanti libri di testo delle scuole superiori. Si può riscontrare come per valori di x>0, il modulo sia uguale ad x. Invece per x<0, il modulo è pari a -x.

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Per la risoluzione dell'integrale è necessario inserire la funzione segno sgn(x)

Per la risoluzione dell'integrale è necessario inserire la funzione segno sgn(x). Questa può essere vista come un caso particolare del modulo, ed è corrispondente a +1 per valori di x>0, mentre è pari a -1 per valori di x<0. A questo punto la funzione |x| può essere riscritta, grazie all'utilizzo della funzione segno, come: |x|=x*sgn (x). In questa maniera, è possibile comprendere che le condizioni viste prima del valore assoluto continuano a sussistere. Come si vedrà, questo "trucco" semplificherà abbastanza il calcolo dell'integrale.

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A seguire, si può calcolare l'integrale della nuova funzione definita

Successivamente si deve calcolare l'integrale della nuova funzione definita. Si deve verificare immediatamente che questa corrisponde al prodotto di due funzioni: x e sgn (x). Si può, pertanto, utilizzare la formula dell'integrazione per parti. Assumiamo come funzione derivata f'(x)=x e come funzione primitiva g (x)=sgn (x). A questo punto, utilizzando la nota tecnica di integrazione per parti, si otterrà il risultato desiderato: [(x^2)/2]*sgn (x) + c. In questa formula, c rappresenta una costante arbitraria. Possiamo nuovamente utilizzare la funzione |x|=x*sgn (x), per poi sostituirla nel risultato. In questa maniera il risultato assumerà una forma più leggibile: [(x*|x|)/2] + c.

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Un buon esercizio sicuramente aiuterà a prendere dimestichezza con l'argomento

L'argomento, come si è potuto riscontrare, è abbastanza ostico. Nel caso in cui avete l'intenzione di approfondire le nozioni che vi abbiamo indicato in questa breve guida, vi rimandiamo a questo sito internet. Tra l'altro, lo studio degli integrali deve essere eseguito, seguendo un buon manuale di analisi. Se le difficoltà dovessero risultare eccessive, allora è consigliabile rivolgersi all'ausilio di un professore, facendosi spiegare tutto il procedimento e le varie formule in maniera graduale. Il miglior aiuto rimane, in ogni caso, l'esercizio. Per questo motivo è buona regola esercitarsi e svolgere molti integrali per prendere dimestichezza con questo argomento della matematica.

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