Come risolvere i limiti delle successioni irrazionali

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Molti studenti avranno di certo sentito parlare di "limite di una successione". Tale limite altro non è che il valore al quale tendono i termini di una successione. Con questo concetto si vuole evidenziare l'idea che esiste sempre un punto mobile che si avvicina ad un altro punto stabilito. Il discorso tuttavia si complica non poco se è necessario risolvere una successione di tipo irrazionale. Ma niente paura. In questa guida vi spiegheremo, attraverso un opportuno esempio, come risolvere i limiti di tutte le successioni irrazionali.

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Occorrente

  • Nozioni base di analisi matematica
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Per prima cosa occorre comprendere quali sono le caratteristiche delle successioni irrazionali. Tali successioni non sono altro che tipi di successioni che, nella loro espressione, contengano una o più radici quadrate. Per risolvere i limiti di ogni successione irrazionale è necessario, in pratica, eliminare la radice quadrata. L'errore più frequente che si compie è quello di ritenere che, per eliminare la radice, si debba sempre elevare al quadrato. Per risolvere un'espressione complessa come quella di una successione irrazionale, invece, è necessario fare riferimento alle regole sui prodotti notevoli. Ecco come procedere.

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Ogni successione di tipo irrazionale è formata da due elementi (una radice quadrata e una frazione, divise da un segno - o da un segno +). Il primo elemento lo chiameremo A, il secondo lo evidenzieremo come elemento B. Per risolvere il limite di una successione irrazionale dovremo quindi basarci sulla formula generale: √A - B. Ora occorrerà trasferire la radice quadrata dal numeratore al denominatore e quindi avremo: A - B² / √A + B. Il risultato algebrico appena ottenuto va applicato a tutti i tipi di successioni irrazionali ai fini di calcolarne il limite. Nel passo successivo dimostreremo quanto enunciato.

Continua la lettura
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Ora eccoci, come detto, ad un esempio concreto per dimostrare quanto sottolineato in precedenza. Sia data l'espressione √9x²+1 -3x di cui dovremo calcolare il limite. Applicando la formula descritta nel precedente passo, avremo quindi √9x²+1 +3x / √9x²+1 +3x. E ancora, andando a sviluppare ulteriormente l'espressione arriveremo a 9x²+1 - 9x² / √9x²+1 +3x. Annullando tra di loro i due valori 9x² del numeratore, rimarrà quindi 1 / √9x²+1 +3x. Ora, siccome i due elementi contenuti nel denominatore saranno entrambi tendenti al + ∞ si avrà che 1 fratto +∞ sarà sempre uguale a 0. Ecco quindi definito, attraverso un esempio, il modo in cui risolvere il limite di una successione irrazionale.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per risolvere i limiti delle successioni irrazionali imparate bene la formula generale di riferimento enunciata in questa guida

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