Come introdurre il concetto di limite

di Annalisa Musio tramite: O2O difficoltà: media

Una delle materie che generale il maggior numero di problemi negli studenti, sia a scuola che successivamente all'università, è sicuramente la matematica. I suoi concetti per diversi studenti sono di difficile assimilazione, in quanto la concatenazione dei vari elementi porta alla possibilità dell'accumulazione di dubbi, che sommati generano gravi problemi di recupero.
La guida che svilupperemo tratterà proprio la matematica, e si porrà come obiettivo quello di riuscire a capire come introdurre il concetto di limite.
Dal punto di vista intuitivo introdurre il concetto di limite è alquanto semplice. Infatti, data una funzione f (x), il limite l della funzione è quel valore che assume sempre di più all'avvicinarsi di x un valore x0. In particolare per f (x) ed x deve esistere un intorno continuo di numeri per poter parlare di limite. Un intorno continuo I di x0 lo si può definire come l’insieme dei valori di x compresi tra l-e ed l+e con e > 0. A questo punto possiamo definire in maniera rigorosa cosa si intende per limite di una funzione. Vediamolo insieme.

1 Il concetto di limite La funzione f (x) ha un limite finito l, per x che tende a x0. Cioè Lim f (x) = l per x che tende ad x0 se, per ogni e > 0, si può individuare un intorno I (x0) tale che, per ogni x appartenente ad I (x0), si abbia | f (x) - l | < e. A seconda che si vada ad avvicinarsi al valore x0 dal lato sinistro o dal lato destro, determinate funzioni possono assumere due limiti, che sono semplicemente due valori che denomineremo come limite destro e limite sinistro. Ma quand'è che parliamo di limite? Andiamo a parlare di limite I nel momento in cui esiste una coincidenza tra il limite sinistro e il limite destro. Generalmente, il limite finito o infinito di tendenza della funzione, esattamente come la variabile x può assumere valori sia costanti o meno. In caso di limite infinito, la definizione di limite si modifica come segue. La funzione f (x) ha un limite infinito, per x che tende a x0, se, per ogni M > 0, si può individuare un intorno I (x0) tale che, per ogni x appartenente ad I (x0), si ha che | f (x) | > M..

2 I quattro scenari Per questa motivazione, possiamo trovarci davanti a quattro differenti scenari. Eccoli: Per cui ci possiamo trovare davanti ad uno dei seguenti quattro scenari.

Limite infinito per x che tende ad un valore finito x0.
Limite finito l per x che tende ad un valore finito x0.
Limite infinito per x che tende ad un valore infinito.
Limite finito l per x che tende ad un valore infinito.

Arrivati a questo punto, possiamo fare degli esempi abbastanza noti per far comprendere meglio la situazione.
Il limite per x che tende a zero della funzione y = 1/(x-1)2, è infinito. Più x si avvicina a zero e quindi 1/2, 1/4, 1/6, 1/200, più y diventa grande, tendendo ad infinito. Un altro esempio viene dalla funzione f (y) =y, cioè la retta. Al tendere di x ad infinito anche y crescerà, tendendo ad infinito.

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3 L'asintoto verticale e orizzontale Alcune funzioni, al tendere di x a xo, si avvicinano sempre di più ad una retta che può essere parallela all'asse delle ascisse o delle co-ordinate.  In questo particolare caso la retta prende il nome di asintoto verticale o orizzontale.  Approfondimento Il limite in matematica (clicca qui)
In chiusura, vi consiglio la ripetizione di questi esercizi in modo tale da renderli sempre più automatici e, inoltre, vi consiglio di approfondire la tematica, anche attraverso la lettura di questo interessante link: https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_(matematica).

Non dimenticare mai: Potreste chiedere ulteriori delucidazioni e chiarimenti al vostro professore Alcuni link che potrebbero esserti utili: Il concetto di limite

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