Come implementare la risoluzione di sistemi di equazioni in Matlab

di Annastella Turi difficoltà: facile

Come implementare la risoluzione di sistemi di equazioni in Matlab Si inizia a sentir parlare di equazioni già a partire dalla scuola secondaria di primo grado, durante le lezioni di matematica e di sistemi nelle scuole secondarie di secondo grado. Come si può immaginare saper risolvere un'equazione è fondamentale per risolvere sistemi. Infatti un sistema di equazioni lineari si presenta, ad esempio, come un insieme di due o più equazioni nelle variabili x e y, che sono le variabili di cui si vuole determinare il valore e che devono soddisfarle contemporaneamente. Esistono tra l'altro vari metodi di risoluzione per i sistemi di equazioni. Tra i più noti ricordiamo il metodo di sostituzione, il metodo del confronto, di riduzione e il metodo di Cramer che utilizza le nozioni dell'algebra matriciale quali per esempio il calcolo del determinante. Per ovviare a questa difficoltà è utile implementare un programma con software matematici come il Matlab.

Assicurati di avere a portata di mano: Basi di matematica Una versione di Matlab installata sul pc

1 Condizione necessaria e sufficiente affinché esista la soluzione in un sistema, è che il numero delle equazioni deve essere lo stesso delle variabili da trovare; in un sistema di 3 equazioni devono comparire tre variabili incognite che ad esempio saranno chiamate x y z.
Nel caso in cui il numero di equazioni risulti minore del numero delle incognite allora il sistema non ammette una e una sola soluzione, bensì un'infinità numerabile; se invece si verifica il caso contrario ci sono due possibilità: il sistema risulta indeterminato se alcune equazioni entrano in contraddizione; altrimenti può accadere che qualche equazione sia inutile, ripetitiva ed equivalente ad un'altra del sistema per cui può essere eliminata.
Illustrerò come risolvere un sistema classico di N equazioni di primo grado in N incognite e forniremo un esempio per N=2.

2 Come implementare la risoluzione di sistemi di equazioni in Matlab Supponiamo quindi di voler risolvere il seguente sistema di 2 equazioni in 2 incognite.
Le incognite da determinare sono x e y. L'esito dell'esercizio ci darà quindi una coppia di numeri che verifica entrambe le equazioni del sistema
La risoluzione in matlab prevede la costruzione di due matrici in modo da poter scrivere il sistema nella seguente forma detta "matriciale":

Ax = B

La matrice A sarà la matrice quadrata di tipo 2x2 dei coefficienti, il vettore x è il vettore delle incognite e il vettore B è il vettore dei termini noti (termini a destra dell'equazione privi della x e della y).
La matrice A sarà composta dai numeri che moltiplicano la x disposti sulla prima riga e da quelli che moltiplicano la y sulla seconda riga.

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3 In Matlab si opererà nel modo seguente:
1) Definisci la matrice A: A=[3 4;5 6]
2) Definisci il vettore B: B=[10;7]
Il punto e virgola nelle parentesi quadre indica che i coefficienti dopo di esso sono disposti su un'altra riga. 
Naturalmente puoi dare un nome arbitrario alle matrici.  Approfondimento Appunti sui sistemi lineari (clicca qui)
A questo punto per concludere basta scrivere:
3) sol=inv (A)*B
laddove il comando inv sta ad indicare l'inversa di A.  In alternativa puoi utilizzare il comando A^-1 che dà esattamente lo stesso risultato. 
Nel nostro caso la soluzione che il software presenterà nella command window sarà -16 e 14.5. 
Per verificare l'esattezza del calcolo basta sostituire i 2 valori nell'equazione e vedere se i risultati sono gli stessi dei termini noti.. 

4 Ovviamente lo stesso procedimento lo puoi applicare a sistemi di più di 2 equazioni; se le equazioni sono 3, la matrice A sarà caratterizzata da 3 righe e 3 colonne e il vettore B avrà 3 righe (e sempre una sola colonna).
Un modo veloce per verificare a priori che il sistema ammetta soluzione unica è calcolare il determinante di A con il seguente comando:
det (A)
Se esso è diverso da zero, la matrice è invertibile. Esisterà dunque una soluzione unica.

Non dimenticare mai: Esercitati con sistemi di piccole dimensioni e poi passa a quelli con più equazioni

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