Come fattorizzare un polinomio cubico

di Vanessa Summa difficoltà: media

Come fattorizzare un polinomio cubico   studenti.it In matematica un polinomio ridotto alla forma normale risulta essere una semplice somma algebrica fra alcuni monomi non simili tra di loro. A rendere i polinomi diversi è la presenza di una o più lettere, in combinazioni anche uguali ma con esponente diverso (3xy^2- 8x^2y ad esempio). La fattorizzazione è l'operazione quasi inversa rispetto all'elevamento e consiste nel mettere in comune più cose possibili (che siano numeri o lettere). In questa guida sono spiegati due modi per fattorizzare un polinomio cubico.

1 Per polinomio di terzo grado si intende un polinomio in cui una delle incognite ha come massimo grado il 3. Il polinomio può essere completo (sono presenti tutti i gradi delle incognite, dallo 0 al 3, in questo caso) o incompleto, e per fattorizzare è necessario conoscere la regola principale dell'elevamento al cubo (nel caso in cui ci si trova davanti ad un polinomio di 4 elementi, bisogna riconoscere subito se è o no un cubo). L'elevazione al cubo di un polinomio è espressa con la seguente formula: (a+b)^3= a^3 + 3a^2b+ 3ab^2+ b^3.
Quindi, nel caso in cui ci trovassimo dinanzi ad un polinomio del genere x^3+9x^2+ 27 x+ 81, possiamo dire che questi altri non è che l'elevazione al cubo di (x+3). Se il segno fosse stato meno, allora il segno del risultato sarebbe stato invertito solo quando b (ovvero -3) aveva grado dispari, ovvero in 9x^2 e 81.

2 Il raccoglimento a fattore comune si ha quando tutti i polinomi presentino un fattore in comune. Se prendiamo per esempio 5 x^3+5, possiamo notare come il 5 sia in comune. È quindi possibile prenderlo e moltiplicarlo per quel che rimane, ovvero 5(x^3+1). Questa tecnica, seppur sia la più semplice nell'utilizzo, è anche quella che viene usata di meno quando parliamo di espressioni con un numero di fattori abbastanza elevato e che non presentano nulla in comune (ovviamente, se poi si scompongono in fattori primi i coefficienti delle x, allora il discorso potrebbe cambiare, dato che il metodo risulterebbe di facile applicazione).

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3 Nel caso in cui capire quale fattore bisogna mettere in comune non sia così intuitivo, si ricorre al raccoglimento a fattore comune parziale, ovvero tutti quelli che presentano dei fattori in comune (che possono essere lettere o numeri).  Prendiamo per esempio l'equazione x^3 + 2x^2 −x−2.  Approfondimento La scomposizione di polinomi in fattori (clicca qui) Subito appare chiaro che il due è in comune fra il secondo ed il quarto termine, quindi possiamo scrivere 2(x^2-1)+x^3-x.  Ora è facile notare che anche la x è in comune (si prende sempre quella col grado minore), quindi possiamo scrivere 2(x^2-1)+x (x^2-1).  Come è possibile notare, ora entrambi hanno in comune il fattore (x^2-1), quindi, raccogliendo nuovamente a fattore parziale esce (x^2-1)*(2+x).  Questo, ovviamente, è solo uno dei modi di applicazione.  Avrei anche potuto mettere in comune primo e secondo, terzo e quarto ed il risultato sarebbe rimasto invariato.  Questa tecnica può essere utilizzata anche nel caso in cui il polinomio sia di grado maggiore al tre.  L'importante è riuscire a ridurlo in una forma nella quale sia presente la sola moltiplicazione fra fattori.. 

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