Come fattorizzare un polinomio cubico

di Silvia R. difficoltà: media

Come fattorizzare un polinomio cubico In matematica un polinomio ridotto alla forma normale risulta essere una semplice somma algebrica fra alcuni monomi non simili tra di loro. A rendere i polinomi diversi è la presenza di una o più lettere, in combinazioni anche uguali ma con esponente diverso (3xy^2- 8x^2y ad esempio). La fattorizzazione è l'operazione quasi inversa rispetto all'elevamento e consiste nel mettere in comune più "cose possibili": numeri o lettere.
Nella guida che segue cercheremo di fornire alcuni utili suggerimenti su come fattorizzare un polinomio cubico nel modo più semplice possibile.

Assicurati di avere a portata di mano: Necessità di capire come fattorizzare un polinomio cubico

1 Come prima cosa precisiamo il concetto di polinomio di terzo definito come quel polinomio in cui una delle incognite ha come massimo grado il 3. Il polinomio in oggetto potrà essere completo, se vede la presenza di tutti i gradi delle incognite dallo 0 al 3, oppure incompleto e per poter "fattorizzare" è necessario conoscere la regola principale dell'elevamento al cubo. L'elevazione al cubo di un polinomio è espressa con la formula che segue: (a+b)^3= a^3 + 3a^2b+ 3ab^2+ b^3.
Quindi, nel caso in cui ci trovassimo dinanzi ad un polinomio del genere x^3+9x^2+ 27 x+ 81, possiamo dire che quest'ultimo rappresenta l'elevazione al cubo di x+3.

2 Il raccoglimento a fattore comune, poi, si verifica quando tutti i polinomi presentano un cosiddetto fattore in comune; ad esempio nel caso di 5 x^3+5 possiamo notare che il 5 è in comune. Sarà quindi possibile prenderlo e moltiplicarlo per quel che rimane, ovvero 5(x^3+1). Questa tecnica, seppure di semplice utilizzo, viene impiegata assai di rado quando si parla di espressioni con un numero di fattori elevato che non presentano nulla in comune.

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3 Nel caso, invece, la comprensione di quale fattore mettere in comune non sia così intuitivo sarà opportuno ricorrere al raccoglimento a fattore comune parziale riguardante tutti quei "valori" che presentano dei fattori in comune, lettere o numeri. 
Prendiamo per esempio l'equazione x^3 + 2x^2 −x−2.  Approfondimento Calcolo letterale tra polinomi (clicca qui) Subito appare chiaro che il due è in comune fra il secondo ed il quarto termine, quindi possiamo scrivere 2(x^2-1)+x^3-x.  Ora è facile notare che anche la x è in comune dunque, prendendo quella con il grado minore, potremo scrivere 2(x^2-1)+x (x^2-1).  Arrivati a questo punto raccoglieremo nuovamente a fattore parziale ottenendo l'espressione che segue: (x^2-1)*(2+x). 
Quest'ultima rappresenta solo una delle modalità possibili per giungere al risultato finale; tale tecnica può essere utilizzata anche nel caso in cui il polinomio sia di grado maggiore al tre.  L'importante è riuscire sempre a ridurlo in una forma nella quale sia presente la sola moltiplicazione fra fattori.

Non dimenticare mai: Ripassare preventivamente le regole generali sui polinomi

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