Come Fattorizzare Un Polinomio

di Francesca Raganato tramite: O2O difficoltà: facile

Siete alle prese con una materia un po' ostica a tutti quanti e non sapete come comportarvi? O meglio, cari studenti, avete problemi a fattorizzare un polinomio? Niente paura.. In questa guida daremo tutte le spiegazioni utili affinché possiate capire la matematica anche voi che proprio non la sopportate. Se stiamo lavorando in un campo, allora il polinomio con i coefficienti appartenenti a tale campo sarà un dominio a fattorizzazione unica ossia ogni elemento riducibile può essere scritto in modo unico. Pertanto è di fondamentale importanza saper portare un polinomio nella sua forma ridotta cioè fattorizzarlo! In questa guida ti insegnerò a fattorizzare un polinomio nei campi più importanti ricorrendo a vari metodi.

Assicurati di avere a portata di mano: Nozioni base di algebra 1

1 Per ridurre un polinomio, dovrai trasformare un polinomio di grado maggiore nel prodotto di due o più polinomi di grado inferiore a quello. Innanzitutto iniziamo a parlare della riducibilità dell'insieme dei numeri reali R. Per ridurre un polinomio in R possiamo ricorrere a varie metodologie di cui siamo a conoscenza, ma il migliore è trovare le radici del polinomio ovvero le soluzioni dell'equazione del polinomio posto uguale a zero. Se il polinomio è di grado due è molto semplice perché basta usare la "formula risolutiva delle equazioni di secondo grado" che dovremmo già sapere.

2 Invece se l'equazione ha grado maggiore rispetto al secondo, la maniera più adatta è quella di procedere per tentativi utilizzando non dei numeri presi a caso, ma i divisori del termine noto, cioè il coefficiente che non ha alcuna incognita accanto. Successivamente disponi questi numeri al posto dell'incognita nel polinomio e quando otterrai zero come risultato potrai ricavare una radice del polinomio. Una volta trovate tali radici potrai scomporre il polinomio nella formula (X-radice1)(X-radice2)... (X-radicen).

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3 Ovviamente non tutti i polinomi sono scomponibili nell'insieme dei numeri reali e quindi devi prestare molta attenzione a questo.  Infatti nel caso in cui la radice di un polinomio non appartiene a quell'insieme, non si può effettuare una scomposizione del polinomio.  Approfondimento Come Scomporre Un Polinomio In Prodotto Di Fattori Con La Regola Di Ruffini (clicca qui) Per esempio X^2 più 1 non è scomponibile in R perché le sue radici sono "i" e "-i".  Questi due numeri appartengono all'insieme dei numeri complessi C e quindi questo polinomio è fattorizzabile solo in C o in un insieme che lo contiene interamente.  Questo è quello che vi serve sapere per attuare la scomposizione di un polinomio nel miglior modo possibile e sarà facile anche per voi che non amate la Matematica.

4 La fattorizzazione in insiemi più semplici come Z e Q è vincolata da leggi più restrittive e quindi non è sempre semplice da attuare. Per semplificare le cose puoi utilizzare il criterio di Eisenstein. Questo criterio afferma che se esiste un numero primo che divide tutti i coefficienti, eccetto quello legato alla variabile con l'esponente maggiore e il quadrato di tale numero non divide il termine noto, allora il polinomio è irriducibile in Q[x] (insieme dei polinomi a coefficienti in Q). Inoltre se tale polinomio è primitivo, cioè il massimo comun divisore tra tutti i coefficienti è 1, allora sarà irriducibile anche in Z[x]. Infine ricordati che un qualsiasi polinomio con la variabile di grado 1 è irriducibile.

Non dimenticare mai: Per capire bene la fattorizzazione di un polinomio dovrai fare molto esercizio.

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