Come Fattorizzare Un Polinomio

di Marco Baglioni difficoltà: facile

Come Fattorizzare Un Polinomio Se stiamo lavorando in un campo, allora il polinomio con i coefficienti appartenenti a tale campo sarà un dominio a fattorizzazione unica, cioè, ogni elemento riducibile si può scrivere in un solo modo. Quindi è fondamentale saper portare un polinomio nella sua forma ridotta! In questa guida ti insegnerò a fattorizzare un polinomio nei campi più importanti, utilizzando vari metodi.

Assicurati di avere a portata di mano: Nozioni base di algebra 1

1 Per ridurre un polinomio, dovrai far diventare un polinomio di grado maggiore di due un prodotto di due o più polinomi di grado inferiore a quello. Per prima cosa cominciamo a parlare della riducibilità dell'insieme R. Per ridurre un polinomio in R ci sono vari metodi, ma il migliore è trovare le radici del polinomio, cioè le soluzioni dell'equazione "polinomio = 0". Se il polinomio è di grado 2 è molto semplice perchè basta usare la "formula risolutiva delle equazioni di secondo grado".

2 Invece se l'equazione ha grado maggiore al secondo, il miglior modo è andare a tentativi, utilizzando non numeri casuali, ma i divisori del termine noto, cioè il coefficiente che non è affiancato ad alcuna incognita. Metti questi numeri al posto dell'incognita nel polinomio e quando il risultato sarà 0, avrai una radice del polinomio. Una volta trovate le suddette radici il polinomio sarà scomponibile nella formula (X-radice1)(X-radice2)...(X-radicen).

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3 Ovviamente non tutti i polinomi sono scomponibili in R.  Infatti quando la radice di un polinomio non appartiene a quell'insieme, la scomposizione non è possibile farla.  Approfondimento Come fattorizzare un polinomio cubico (clicca qui) Per esempio X^2 più 1 non è scomponibile in R perchè le sue radici sono "i" e "-i".  Questi due numeri appartengono all'insieme dei Complessi C e quindi questo polinomio è fattorizzabile solo in C o in un insieme che lo contiene per intero.. 

4 La fattorizzazione in insiemi più semplici come Z e Q è vincolata da leggi più restrittive e quindi non è sempre semplice da attuare. Per semplificare le cose puoi utilizzare il criterio di Eisenstein. Questo criterio afferma che se esiste un numero primo che divide tutti i coefficienti, eccetto quello legato alla variabile con l'esponente maggiore e il quadrato di tale numero non divide il termine noto, allora il polinomio è irriducibile in Q[x] (insieme dei polinomi a coefficienti in Q). Inoltre se tale polinomio è primitivo, cioè il massimo comun divisore tra tutti i coefficienti è 1, allora sarà irriducibile anche in Z[x]. Infine ricordati che un qualsiasi polinomio con la variabile di grado 1 è irriducibile.

Non dimenticare mai: Per capire bene la fattorizzazione di un polinomio dovrai fare molto esercizio.

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