Come fare lo sviluppo di Taylor di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Una serie di Taylor è uno sviluppo in serie di una funzione nell'intorno di un punto. Una unidimensionale serie di Taylor è un'espansione di una funzione reale f (x) circa un punto x = a, in particolare: f (x) = f (a) + f ' (a) (x - a) [(f " (a)) / 2!] (x - a)^2 + [(f^(3) (a)) / 3!] (x - a)^3 + eccetera. Se a = 0 l'espansione è nota come serie di Maclaurin. Come fare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione data è lo scopo di questa guida.

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Il teorema di Taylor (in realtà scoperto prima da Gregory) afferma che ogni funzione che soddisfa determinate condizioni può essere espressa come una serie di Taylor. Se f (z) è una complessa funzione analitica dentro e sopra una semplice curva C (solitamente un cerchio) nel piano z, allora le dervivate più grandi di f (z) esistono anche in C. Se z0 e z0 + h sono due funti fissi in allora F (z0+h) = f (z0) + hf (1) (z0) + h2/2! F (2) (z0) + … + hn /n! F (n) (z0) +... Dove f (k)(z0) e la kth derivata di f (z) at z=z0.

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Considerando z0 + h = z, la serie diventa: F (z) = f (z0) + (z-z0) f (1) (z0) + (z-z0) 2/2! F (2) (z0) + ... + (z-z0) n / n! F n (z0) + ... = F (n) (z0). Questa serie è nota come sviluppo in serie di Taylor di f (z) su z = z0. Il raggio convergenza di questa serie è | z - z0 | serie di Maclaurin, nel caso della funzione di variabili reali.

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È possibile utilizzare i primi termini di una serie di Taylor per ottenere un valore approssimativo per una funzione. Riepilogando: (x) = c 0 + c 1 (x - a) + c 2 (x - a)^2 + c 3 (x - a)^3 + ...
Quindi bisogna scegliere un valore "a", ed elaborare i valori di c 0, c 1, c 2,... Etc. Per ottenere c 0, scegliere x = a in modo che tutti i (x - a) termini diventino pari a zero: f (a) = c 0, Quindi c 0 = f (a).
Per ottenere c 1, prendere la derivata di f (x): f ' (x) = c 1 + 2c 2 (x - a) + 3c 3 (x - a) 2 +... F '(x) = 1 + c 2c 2 (x - a) + 3c 3 (x - a) 2 +... Con x = a, tutti i (x - a) termini diventano pari a zero: f ' (a) = c 1 f '(a) = c 1, Quindi c 1 = f '(a)
Per ottenere c 2, fare di nuovo la derivata: f ' ' (x) = 2c 2 + 3×2×c 3 (x - a) +... F '' (x) = 2c 2 + 3 × 2 × c 3 (xa) +... Con x = a. Tutti i (x - a) termini diventano pari a zero: f ' ' (a) = 2c 2 f '' (a) = 2c 2So c 2 = f ' ' (a)/2 Quindi c 2 = f '' (a) / 2

.

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Quindi un modello sta emergendo. Ogni termine è: la prossima derivata superiore... Diviso per tutti gli esponenti finora moltiplicati insieme (per i quali possiamo usare la notazione fattoriale, per esempio 3! = 3 × 2 × 1). Si ottiene: f (x) = f (a) + f ' (a) (x - a) [(f " (a)) / 2!] (x - a)^2 + [(f^(3) (a)) / 3!] (x - a)^3 + eccetera. Ora abbiamo un modo di trovare la nostra serie di Taylor: continuiamo a prendere gli strumenti derivati ​​e dividiamo per n! Ogni volta. Simao giunti oramai a questo quarto ed ultimo passo della guida su come fare lo sviluppo di Taylor di una funzione.

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