Come disegnare una funzione inversa

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Difficoltà: media
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Introduzione

Nelle matematiche superiori, non è raro imbattersi nella realizzazione di grafici di funzione. Attraverso una serie di procedure, è possibile disegnare il grafico di una funzione. Partendo dall'equazione che esplicita la retta, è possibile ricavare gli elementi necessari alla realizzazione del grafico. Il grafico di una funzione non è altro che l'insieme delle immagini che una funzione assume al variare dei valori assegnati alle ascisse. Tale insieme di immagini è detto dominio. Esso non va confuso con il dominio. Quest'ultimo infatti è l'insieme dei valori per la quali la funzione esiste. A partire dalla funzione di partenza, è possibile ricavare la funzione inversa. Tuttavia farlo, bisogna verificare che la funzione in questione sia iniettiva e suriettiva. Se la funzione possiede queste proprietà, allora essa è biiettiva e quindi invertibile. Disegnare una funzione inversa sembra quindi complicato. Tuttavia non è così. Con un po di pazienza e con il nostro aiuto riuscirete nell'impresa. Permetteteci, quindi, di fornirvi il nostro aiuto attraverso questo articolo. Ecco a voi una guida su come disegnare una funzione inversa.

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Occorrente

  • Matita
  • Gomma
  • Foglio quadrettato
  • Riga o righello
  • Penna
  • Calcolatrice
  • Conoscenze di insiemistica
  • Conoscenze sulla risoluzione di equazion
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Verificate la suriettività

Come abbiamo detto in precedenza, una funzione è invertibile solo se è sia suriettiva che iniettiva. Per prima cosa verifichiamo che la funzione sia suriettiva. Una funzione è definita suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In altre parole, immagine e codominio coincidono. Ma come è possibile verificare ciò? Basterà applicare la definizione di funzione suriettiva. Per farlo occorrerà risolvere un'equazione di primo grado. Bisognerà ricavare un generico valore x, ossia un'intersezione con l'asse delle ordinate. Se l'equazione ammette un'unica soluzione, allora la funzione è suriettiva.

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Verificate l'iniettività

La suriettività è condizione necessaria ma non sufficiente per stabilire l'invertibilità di una funzione. Affinché sia possibile disegnare una funzione inversa, occorre che la funzione di partenza sia anche iniettiva. Il processo per verificare questa proprietà è piuttosto semplice. Partiamo dalla definizione. Una funzione è definita iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi diversi nel codominio. Applichiamo dunque pedissequamente la definizione. Imponiamo dunque un'equazione del tipo:
f (x1) = f (x2).
Se l'equazione ammette soluzione unica, allora la funzione è iniettiva.

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Verificate l'invertibilità

Dopo aver verificato l'iniettività e la suriettività della funzione, possiamo procedere con il disegno della funzione inversa. Per realizzarla, basterà ribaltare il grafico della funzione inversa. Graficamente, basterà invertire l'asse delle ascisse con l'asse delle ordinate. Il grafico della funzione, invece, non dovrà essere modificata. Tuttavia vi sono funzioni che non sono invertibili in senso stretto. Esse sono invertibili solo in alcune zone del codominio. Per compiere questa restrizione, basterà individuare un codominio in cui la funzione è sia iniettiva che suriettiva e quindi invertibile. In quell'intervallo sarà possibile disegnare una funzione inversa. La procedura resta invariata.

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