Come dimostrare una funzione suriettiva

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Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica, come detto moltissime volte, è una materia tanto affascinante quanto difficile da apprendere. Infatti non sono pochi gli studenti che si ritrovano durante i loro anni di studio a doversi barcamenarsi con l'apprendimento di questa materia. Le difficoltà maggiori derivano da una scarsa conoscenza delle basi, indispensabili per poter capire ed apprendere operazioni più complesse come le tanto temute funzioni. Ma la matematica è anche una materia piuttosto affascinante, che se compresa potrà aprirvi un mondo veramente interessante. Ma cerchiamo di capire ora come dimostrare una funziona suriettiva.
Una funzione non è altro che una corrispondenza univoca tra due insiemi A e B. Essa rappresenta una legge che associa a ogni elemento di A (indicato con la lettera "x") un unico elemento di B (indicato con la lettera "y"). L'insieme A, o insieme dei valori che assume la variabile indipendente "x", è detto dominio o insieme di esistenza della funzione. L'insieme B non è altro che l'insieme dei valori assunti dalla variabile dipendente "y" e costituisce l'insieme di variabilità della funzione o codominio della stessa. A questo punto è possibile effettuare una prima importantissima suddivisione delle funzioni, in base alla relazione che si determina tra il dominio e il codominio della stessa. Si è soliti classificare le funzioni in tre categorie: iniettiva, suriettiva e biunivoca. Dopo aver definito brevemente le tre classi, specificherò come dimostrare una funzione suriettiva. Attraverso pochi e semplici passaggi daremo alcune spigazioni che vi aiuteranno a capire meglio.

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Definire l'ipotesi di iniettività

Iniziamo con il definire l'ipotesi di iniettività. Una funzione f, definita da un insieme A ad un insieme B, è iniettiva se considerati due elementi qualsiasi dell'insieme A, x1 e x2, diversi tra di loro, allora anche le loro immagini in B, f (x1) e f (x2), saranno distinte. Il ragionamento può essere parallelamente condotto assumendo che i due valori considerati in A siano uguali tra di loro. In questo caso anche le loro immagini in B dovranno essere uguali. Esempi di funzioni iniettive sono la retta, la radice quadrata, i logaritmo e l'esponenziale. Non è poi detto che la funzione f definita da un insieme A e da un insieme B, qualora B non coincida con il codominio della funzione, tutti gli elementi di B siano l'immagine di un elemento A: possono esservi in B degli elementi che non è possibile ottenere attraverso f (x) partendo da un qualsiasi elemento di A.

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Determinare gli elementi della funzione

Una funzione (tra due insiemi qualsiasi, non necessariamente reale di variabile reale), è suriettiva se il codominio della funzione coincide con B, cioè insieme B e codominio della funzione sono ugualmente estesi e ogni elemento di B deve essere immagine di almeno un elemento di A. Per meglio capire va ricordato che una funzione sono tre cose: y = f (x), l'insieme di partenza e l'insieme di arrivo. Quest'ultimo non è detto che coincida con il codominio dell'espressione y = f (x), in particolare se il codominio è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo, la funzione non è suriettiva.

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La differenza tra iniettività e suriettività

La differenza tra i concetti di iniettività e suriettività è quindi notevole. Una funzione può essere iniettiva e non suriettiva, può per esempio avere un codominio che sia un sottoinsieme di B. Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva allora è anche biunivoca. Quindi in una funzione biunivoca non solo a ogni elemento dell'insieme A si può associare uno e un solo elemento di B, ma anche a ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento di A. Una funzione di questo tipo è invertibile.

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Calcolare il dominio e il codominio

Ora cercherò di fornire un metodo pratico per dimostrare che una funzione sia effettivamente suriettiva. Innanzitutto, bisogna calcolare il dominio e il codominio della funzione e verificare che ogni elemento del codominio sia immagine (derivi in pratica) di un elemento del dominio. Se il dominio e il codominio hanno la stessa estensione, la funzione potrebbe essere anche iniettiva, quindi biunivoca e invertibile.

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Utilizzare dei grafici

Può essere molto utile anche procedere graficamente. In questo modo è possibile osservare con immediatezza se ogni elemento del codominio trova corrispondenza nel dominio. Per esempio, la retta è una funzione biunivoca, la parabola è solo suriettiva, le cubiche sono biunivoche. La suriettività deve essere dimostrata caso per caso, non esiste una formula risolutiva applicabile a priori, ma bisogna applicare alla funzione in questione i concetti generali finora citati.
Dimostrare una funzione suriettiva è abbastanza facile, se si capisce bene tutto il procedimento e soprattutto cosa è una funzione. Se avete già provato a studiarla e non avete ancora capito, la spiegazione di questa guida potrà esservi d'aiuto per comprendere meglio e studiare più velocemente. Vi auguro quindi buon lavoro e buono studio.
Alla prossima.

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