Come dimostrare l'infinità dei numeri primi

di Giulianomaria D'Amato tramite: O2O difficoltà: media

Euclide fu il primo a dimostrare l’infinità dei numeri primi per la prima volta nella storia. Egli, infatti, dimostrò che non esiste il numero più grande di tutti, perché ne esisterà sempre uno più grande di un altro. Successivamente a questa scoperta, nacque la definizione di numero primo: In matematica un numero primo è un numero naturale che sia divisibile esclusivamente per 1 e per sé stesso. L'obbiettivo di questa guida è quello di dimostrare come e eprchè i numeri primi sono infiniti. Ma basta perdersi in chiacchiere, passiamo all'atto pratico!

1 Ragionamento per assurdo. Il procedimento di Euclide per dimostrare quest'infinità comincia con un ragionamento per assurdo: Se i numeri primi non sono infiniti, sono finiti. Quindi avrà senso la seguente scrittura: P=[2,3...... Pn]. In questo caso, indichiamo con P l’insieme dei numeri primi, mentre con pn il numero massimo dei numeri primi. È importante ricordare che in aritmetica, il " Massimo" è il più grande numero di una serie. Il ragionamento per assurdo comincia considerando proprio che pn è il massimo dei numeri primi.

2 Dimostrazione. Se addizioniamo 1 ad un numero e lo dividiamo per un numero ottenuto per i fattoriali del primo, il risultato della divisione sarà sempre 1. Il seguente esempio dimostrerà questa tesi:12 = 4 x 3;
12 + 1 = 13;
13/4= 3 con resto di 1;
13/3= 4 con resto di 1; Tenete in mente questa brevissima dimostrazione, perché essa servirà per il passaggio successivo.

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3 Due casi. Riferendoci alla tesi precedente, diremo che pn è il più grande tra i numeri primi.  Questo però sappiamo che non è vero, dato che esisterà sicuramente un numero P più grande di pn.  Approfondimento Teorema dell'infinità dei numeri primi: dimostrazione (clicca qui) Quindi, si procede in questo modo:

P>pn

se addizioniamo 1 a P avremo ancora:

P + 1>pn


Per il teorema fondamentale dell'aritmetica (un numero o è primo o si ricava dal prodotto di numeri primi) esistono due possibilità:
-P+1 è PRIMO
-P+1 è COMPOSTO

Nel primo caso, P+1 è primo, abbiamo ottenuto una contraddizione: infatti P+1 è maggiore di pn, il che va contro l'ipotesi per cui pn è il maggiore dei numeri naturali, e avendo noi generalizzato con l'utilizzo di un'incognita, esisterà sempre un numero primo maggiore di pn.  Allora l'insieme di P è infinito. 

Nel secondo caso, p+1 è composto e contraddice il discorso che abbiamo dimostrato precedentemente.  Infatti per costruzione P+1 non è divisibile né da pn né da un fattoriale, perché come risultato darà sempre 1 in base a questi fattori.  Un numero composto è divisibile per i fattoriali dato che è composto da essi, come possiamo ricavare dal teorema fondamentale dell’aritmetica.  Detto ciò, noterete che il secondo caso non è dimostrabile perché contraddittorio, mentre il primo caso dimostra perfettamente che P è infinito e potrà sempre essere più grande di pn.

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