Come dimostrare il primo teorema di Euclide

di Alessandro Mecchia difficoltà: media

Come dimostrare il primo teorema di Euclide Uno dei teoremi più conosciuti (e anche dei più studiati) sui triangoli rettangoli è il primo teorema di Euclide. Esso afferma che in ogni triangolo rettangolo si ha l'equivalenza tra il quadrato avente per lato un cateto e un rettangolo i cui lati sono l'ipotenusa e la proiezione su di essa del cateto.

1 Come dimostrare il primo teorema di Euclide Costruisci un rettangolo prendendo BC' congruente a BC (vedi figura) e sia BH la proiezione del cateto AB. Ora devi dimostrare che se il triangolo è rettangolo allora il rettangolo R e il quadrato Q sono equivalenti. Vediamo ora, come in ogni dimostrazione geometrica che si rispetti, quali sono l'ipotesi e la tesi. L'ipotesi è, ovviamente, che BAC sia un triangolo rettangolo e la tesi è che il rettangolo R sia equivalente al quadrato Q.

2 Per dimostrare il teorema è necessario che tu costruisca una figura intermedia ovvero il parallelogramma BFGA. Per prima cosa devi dimostrare che il quadrato sia equivalente al parallelogramma e dopo come il parallelogramma sia equivalente al rettangolo. La tesi sarà, pertanto, dimostrata per la proprietà transitiva dell'equivalenza. Vediamo come puoi dimostrare l'equivalenza tra quadrato e parallelogramma.

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3 Come puoi vedere, la base delle due figure è la stessa ed, inoltre, l'altezza del quadrato EA risulta essere anche l'altezza del parallelogramma.  Considera ora il parallelogramma BFGA e il rettangolo BC'KH.  Approfondimento Come trovare il perimetro del parallelogramma (clicca qui) Per prima cosa nota che l'altezza delle due figure è la stessa in quanto può essere considerata come altezza qualunque segmento diperpendicolare che venga condotto fra le rette parallele GK e FC'.. 

4 Ora non ti resta che dimostrare che le basi del parallelogramma e del rettangolo sono congruenti ovvero che BC'=FB. Dal momento che per costruzione BC' è congruente all'ipotenusa BC devi dimostrare che FB sia uguale a BC. Per farlo prendi in considerazione i triangoli DBF e ABC. Questi due triangoli hanno gli angoli BAC e BDF uguali in quanto sono entrambi retti: BAC per ipotesi e BDF in quanto angolo del quadrato.

5 I lati AB e DB sono uguali poiché sono entrambi lati del quadrato. Gli angoli ABC e DBF sono uguali in quanto angoli complementari di uno stesso angolo (FBA). Per il secondo criterio di congruenza dei triangoli puoi affermare che i due triangoli sono congruenti. In particolare hai che BC è uguale a BF. Di conseguenza, avendo anche la base congruente, il rettangolo R e il parallelogramma P sono equivalenti. In conclusione essendo il quadrato Q equivalente al parallelogramma P ed essendo quest'ultimo equivalente al rettangolo R per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato Q è equivalente al rettangolo R come volevasi dimostrare.

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