Come dimostrare il primo teorema di Euclide

di Silvia Monti difficoltà: media

Come dimostrare il primo teorema di Euclide   ripmat.it In geometria, il primo teorema di Euclide si può esprimere in due modi diversi, a seconda delle relazioni tra figure e segmenti.
1) PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE SECONDO IL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA.
In ogni triangolo rettangolo, si ha equivalenza tra il quadrato che ha per lato un cateto ed il rettangolo costituito dall’ipotenusa e dalla proiezione del cateto su di essa.
2) PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE SECONDO IL PRINCIPIO DI PROPORZIONE.
In un triangolo rettangolo, ogni cateto è proporzionale al rapporto tra l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto su di essa.
In questo tutorial, vi illustreremo come dimostrare facilmente il primo teorema di Euclide. Poiché l’argomento necessita di conoscenza adeguate, vi consigliamo di porre estrema attenzione alla spiegazione.

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1 Come dimostrare il primo teorema di Euclide   ripmat.it PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE: COSTRUZIONE GRAFICA.
Supponete di avere un triangolo rettangolo ABC, con altezza AH
Realizzate un rettangolo R, che abbia il lato BC’ congruente a BC (come mostrato in figura).
BH è la proiezione del cateto AB.
Quindi, tracciate il quadrato Q.
Secondo il primo teorema di Euclide, dovete dimostrare che il rettangolo R e il quadrato Q sono equivalenti.

2 Come dimostrare il primo teorema di Euclide   ripmat.it PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE: IPOTESI E TESI.
Per applicare il primo teorema di Euclide, dovete ipotizzare che ABC sia un triangolo rettangolo.
La tesi consiste nel dimostrare che il rettangolo R è equivalente al quadrato Q.
Come fare?
Costruite il parallelogramma ABFG.
Dovete prima scoprire se il quadrato Q è equivalente al parallelogramma P.
Solo successivamente, verificherete se P è anche equivalente al rettangolo R, secondo la proprietà transitiva dell'equivalenza.

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3 Come dimostrare il primo teorema di Euclide PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE: EQUIVALENZA TRA FIGURE.
Esaminando accuratamente la figura al lato, noterete che:
1) La base di P e Q coincide. 
2) L’altezza AE del quadrato è anche l’altezza del parallelogramma.
Considerate, ora, il parallelogramma P ed il rettangolo R.  Approfondimento Come trovare l'ipotenusa del teorema di Euclide (clicca qui)
Poiché si considera altezza un qualsiasi segmento diperpendicolare condotto fra le rette parallele GK e FC', ne deducete che P e Q hanno la medesima altezza.
Non vi resta che dimostrare che le basi dio P e R sono congruenti, ovvero che BC' = FB. 
Sapete che, per costruzione, BC' è congruente all'ipotenusa BC. 
Dovete dimostrare che FB è uguale a BC. 
Considerate i triangoli BDF e ABC.  Noterete che hanno gli angoli BAC e BDF uguali, in quanto entrambi angoli retti. 
Anche i lati AB e BD sono uguali, poiché lati del quadrato Q. 
Per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, quindi, si può dichiarare che i due triangoli sono congruenti. 
Sapete anche che BC è uguale a BF.  Di conseguenza, avendo anche la base congruente, il rettangolo R e il parallelogramma P sono equivalenti. 
In conclusione:
1) il quadrato Q è equivalente al parallelogramma P.
2) il parallelogramma P è equivalente al rettangolo R.
Per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato Q è equivalente al rettangolo R.

Non dimenticare mai: Uno studio accurato e meticoloso dell’argomento vi aiuterà a risolvere facilmente i problemi relativi al primo teorema di Euclide.

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