Come determinare i punti di intersezione tra due rette

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

C'è una branca della matematica, chiamata geometria analitica o geometria cartesiana, che tutti gli studenti delle Superiori conoscono. Essa studia le figure geometriche avvalendosi delle coordinate cartesiane. Queste ultime cosa sono? Sono le coordinate di un piano cartesiano suddiviso dall'asse delle ascisse (orizzontale) e dall'asse delle ordinate (verticale). Tale suddivisione origina quattro angoli retti denominati quadranti. La geometria analitica, le ascisse e le ordinate fanno parte della vita di ogni studente e non solo. Infatti si usano per i grafici, un tipo di raffigurazione schematica quanto mai utile e diffuso. Nella geometria analitica si studiano rette, parabole, circonferenze e molto altro ancora. Nei successivi passaggi di questa guida, spiegherò come determinare i punti di intersezione tra due rette. Iniziamo!

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Occorrente

  • Matita
  • Riga
  • Penna
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Introduzione ai metodi di calcolo

La generica equazione di una retta può esprimersi in due modi: forma esplicita e implicita. Vediamo la differenza. La forma esplicita è data dal rapporto: y = mx+q oppure x= my+q. In tali formule y e x rappresentano le variabili, m è il coefficiente angolare (m=y2-y1/x2-x1) e q è l'intercetta. In forma implicita, invece, la retta si scrive: ax+by+c = 0. Per calcolare gli eventuali punti di intersezione, è obbligatorio che le due rette considerate siano espresse in forma analoga. Dopodiché si dovranno porre le due rette a sistema e calcolare le soluzioni. Per risolvere il sistema, è possibile impiegare metodi differenti: metodo di sostituzione, grafico, del confronto, di riduzione e infine metodo di Cramer.

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Utilizzo di un metodo di calcolo

In seguito, in base al tipo del sistema, si sceglie con quale metodo ricavare il valore delle due incognite x e y. Questo permette infine di risolvere l'equazione. Fatto ciò, per rappresentare due rette su un grafico, creare una tabella in cui, assegnando il valore di x, sarà possibile ottenere il valore di y. Una volta trovate le coordinate della prima retta, realizzare un'altra tabella in cui sostituire il valore di y e ottenere quello di x. In questo modo, si ricaveranno le coordinate della prima retta (retta A) e della seconda retta (retta B). Ora sarà possibile proseguire raffigurandole nel piano cartesiano.

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Risultati possibili del calcolo

Nel determinare i punti di intersezione tra due rette si possono avere tre differenti risultati. Il primo mostra che le due rette non hanno nessun punto in comune. Significa che non si incontrano perché sono parallele. In pratica, il coefficiente angolare della retta A è uguale al coefficiente angolare della retta B. Il secondo possibile risultato del calcolo può mostrare al contrario punti infiniti in comune. Avrete già indovinato: vuol dire che le due rette sono sovrapposte. Detto in "termini geometrici", il coefficiente angolare e l'intercetta della retta A sono identici al coefficiente angolare e l'intercetta della retta B.. La terza evenienza è che le due rette possiedano un singolo punto in comune. In tal caso si definiscono rette incidenti. Significa che il coefficiente angolare della retta A è diverso dal coefficiente angolare della retta B.

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