Come Classificare Le Coniche

tramite: O2O
Difficoltà: media
16

Introduzione

L'equazione generale di una conica è: Ax^2 Bxy Cy^2 Dx Ey F=0. A ogni conica può essere associata una matrice del tipo: [(A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F)]. Se il determinante della matrice associata è diverso da zero, la conica è non degenere. In caso contrario è degenere. Se da queste premesse non tutto è chiaro, allora proseguite nella lettura di questo articolo per comprendere il metodo utilizzato nel classificare le coniche mediante le matrici ed in modo particolare per mezzo del calcolo del determinante. Seguirà un esempio pratico su come operare la classificazione di una conica.

26

Occorrente

  • Nozioni generali sulla geometria analitica.
  • Saper operare con le matrici.
36

Non in tutti i percorsi di studio si trova questo argomento di trigonometria. In base al vostro corso potrete imbattervi nella necessità di classificare le coniche. La classificazione potrebbe essere sul piano cartesiano o sul piano proiettivo. Non c'è comunque da allarmarsi, perché rispetto alla classificazione il concetto è il medesimo, per cui è indifferente il piano su cui si ipotizza la conica.

46

CONSIDERIAMO IL SEGUENTE ESERCIZIO. Classifica la seguenti conica: x^2-2xy y^2 8x 8y=0. RISOLUZIONE. La sua matrice associata alla conica è la seguente: A=[(1,-1,4), (-1,14), (4,40)], il cui determinante è: |A|=-16-16-16-16=-64. Poiché il determinante di A è diverso da zero, la conica non è degenere. Per scoprire di quale conica si tratta, bisogna calcolare l'invariante quadratico I: I=|(1,-1), (-1,1)|=0. Essendo I=0, la conica è una parabola.

Continua la lettura
56

CONSIDERIAMO IL SEGUENTE ESERCIZIO. Classifica la seguente conica: x^2-xy-6y^2-x 13y-6=0. RISOLUZIONE. La matrice associata alla conica è la seguente: [(1,-1/2,-1/2), (-1/2,-6,13/2), (-1/2,13/2,-6)], il cui determinante è: |A|=36 13/8 13/8 3/2-169/4 3/2= 36 13/4 3-169/4=39-156/4=39-39=0. Poiché il determinante di A è uguale a zero, la conica è degenere. Come prima, per individuare di quale conica si tratta, calcoliamo l'invariante quadratico I.

66

Quindi: I=|(1,-1/2), (-1/2,-6)|=-6-1/4=-25/4. Dato che I<0, la conica è un'iperbole degenere. Consideriamo l'equazione della conica data come un'equazione in y di secondo grado e ricaviamo y da questa equazione: 6y^2-y (13-x) (-x^2 x 6)=0. Si ottiene: y=[(13-x) /- rq (169 x^2-26x 24x^2-24x-144)]/2. Svolgendo i calcoli, si ricavano due soluzioni: y=-1/2x 3/2 e y=1/3x 2/3. L'equazione della conica può quindi essere scritta come (x 2y-3)(x-3y 2)=0. Perciò, la conica data è un'iperbole degenere in due rette incidenti. X 2y-3=0 e x-3y 2=0.
Questo è quanto necessario sapere per classificare una conica. Un prossimo step potrebbe essere lo studio della sua equazione.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come rappresentare una proiezione conica

Il cono, in geometria, è un solido che si ottiene ruotando un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti. Quindi l'asse del cono è proprio il cateto intorno al quale questo solido si realizza. La base del cono è dunque un cerchio iscritto...
Superiori

Come trovare il vertice dell'iperbole equilatera

L'iperbole è una figura geometrica che fa parte delle cosiddette sezioni coniche. Per conica, si intende una curva piana in cui alcuni punti sono l'intersezione di un piano cartesiano con un cono circolare. Nell'ambito della geometria euclidea, l'iperbole...
Università e Master

Come disegnare delle ombre In Prospettiva Conica E Ortogonale

L'ombra di un punto sulla superficie si determina, in generale, costruendo l'intersezione con il punto luminoso che passa per esso. Se il raggio incontra la superficie in più punti, avrete l'ombra nella prima intersezione. In questa guida vi verrà spiegato,...
Superiori

Come determinare l'equazione di un'ellisse

In questa guida parleremo di una disciplina abbastanza ostica a buona parte degli studenti, ossia la matematica. Nello specifico, ci occuperemo della geometria, che è un ramo della matematica. A proposito di geometria, introduciamo la definizione di...
Superiori

Come determinare l'equazione di un'ellisse per condizioni

In geometria, un'ellisse è una curva piana ottenuta intersecando un cono con un piano in modo da produrre una curva chiusa. Affinché la sezione conica produca una curva chiusa, l'inclinazione del piano deve essere superiore a quella della generatrice...
Università e Master

Come ridurre una quadrica in forma canonica

Una quadrica, nel linguaggio " geometrico", è la superficie di uno spazio dimensionale rappresentato da un'equazione polinomiale nelle coordinate spaziali, ed è rappresentata da un’equazione di secondo grado in coordinate cartesiane nello spazio....
Superiori

Come costruire una parabola canonica

Parlando di matematica, spesso ci si ritrova davanti ad un muro apparentemente invalicabile: è una delle discipline meno gradite ai ragazzi e sicuramente rappresenta una di quelle che richiedono uno studio concentrato e costante. Dopo tanto studio, infatti,...
Superiori

Come trovare l'equazione di una parabola passante per 3 punti

La geometria analitica è quel ramo della matematica che si occupa dello studio delle funzioni all'interno del piano cartesiano. Il comportamento e il grafico delle funzioni sono descritti da equazioni. Per le rette si tratta di equazioni di primo grado;...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.