Come calcolare lo jacobiano di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

L'esame di analisi è alle porte e preferireste seriamente lanciarvi da una finestra? Niente paura e mantenete la calma. Oggi affronteremo un argomento all'apparenza difficile, ma che, come vedremo, non richiede niente di più delle conoscenze che già avete.
Con questa guida impareremo a calcolare lo jacobiano di una funzione.

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Vediamo gli argomenti che ci serviranno come prerequisiti per lo scopo di questa guida.
Cos'è una matrice: una matrice non è altro che una tabella di dati, diciamo con m righe e n colonne. Nel nostro caso, come vedremo, i "dati" non saranno altro che delle derivate.
Come si calcolano le derivate parziali: le derivate parziali non sono altro che le derivate di una funzione F da R^n in R, fatte rispetto ad una variabile, e trattando le altre come fossero costanti. Se siete un po' arrugginiti sull'argomento, vi consigliamo di leggere la nostra semplice guida al seguente link.
Cos'è una funzione in più variabili. Vi ricordiamo che una funzione in più variabili F è, in generale, una funzione da R^n in R^m. Ciò vuol dire che a una n-upla di valori, ne associa una m-upla; in altri termini, ad un vettore a n entrate, ne associa uno ad m entrate.
In formule sarà quindi rappresentata da: F (x1, ..., xn)=(F1(x1, ..., xn), ..., Fm (x1, ..., xn)). Ovvero: la nostra funzione è di fatto composta da m funzioni, una per ogni entrata di un m-vettore (cioè gli elementi di R^m).

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Passiamo quindi a definire cos'è lo jacobiano di una funzione F: R^n -> R^m.
Lo jacobiano è la matrice formata, per ogni riga "i", dalle n derivate parziali della funzione Fi. Ciò significa che l'elemento (i, j), cioè l'elemento di riga i e colonna j, è la derivata parziale della funzione Fi rispetto alla variabile xj, quindi A (i, j) = dFi/dxj.
Vedendolo in una maniera ancora più semplice: ogni riga "i" è formata dal gradiente della funzione Fi. Per il calcolo del gradiente, almeno per le funzioni a più variabili, vi rimandiamo a questa guida link.

Continua la lettura
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Facciamo un esempio. Prendiamo la funzione F: R^2 -> R^2, quindi F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)), dove F1(x, y) = x^2 + xy^3 -9, e F2(x, y) = 3x^2*y - y^3, ovvero F (x, y) = (x^2 + xy^3 -9, x^2*y - y^3).
Calcoliamo le derivate parziali rispetto a F1: dF1/dx = 2x + y^3 e dF1/dy = 3xy^2.
Calcoliamo le derivate parziali rispetto a F2: dF2/dx = 6xy e dF2/dy = 3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2).
Lo jacobiano della funzione sarà allora quello riportato nella figura accanto.
Infine, calcolare lo jacobiano in un dato punto, significa sostituire le coordinate di quel punto nella matrice ottenuta. Un'importante proprietà dello jacobiano, che lo rende uno strumento fondamentale nell'analisi è che le funzioni con stesso dominio e codominio (ovvero i vettori dello spazio di partenza e di arrivo sono "lunghi uguali"), sono invertibili in un punto se e solo se lo jacobiano calcolato in quel punto non è nullo.

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