come calcolare l'integrazione di funzioni razionali fratte

tramite: O2O
Difficoltà: facile
16

Introduzione

Una funzione razionale fratta rappresenta una funzione matematica di questo tipo: f (x)= p (x)/ q (x), in cui p (x) e q (x) stanno ad indicare due polinomi. Esistono varie metodologie per arrivare alla risoluzione di questi integrali. I primi aspetti che devono essere tenuti in considerazione ed analizzati sono il grado sia del numeratore, che in questo caso vien esaminato da p (x), e del denominatore, indicato come q (x). In questa semplice ed esauriente guida vi spiegheremo le varie metodologie per calcolare l'integrazione delle funzioni razionali fratte.

26

Occorrente

  • foglio
  • penna
  • libro di esercizi
36

Con il simbolo § viene indicato l'integrale. Nella funzione § N (x) / D (x) dx, il numeratore è indicato con N (x) ed il denominatore con D (x). Sia N (x) che D (x) rappresentano dei polinomi. Nel nostro calcolo supporremo che il grado del numeratore sia minore rispetto a quello del denominatore, dal momento che è sempre possibile effettuare la divisione del polinomio N (x) per il polinomio D (x), ottenendo un quoziente Q (x) ed un resto R (x) di grado minore rispetto a quello di D (x). Pertanto, si avrà: N (x)/ D (x) = Q (x) + R (x)/ D (x). Successivamente, deriva tutto questo: § N (x)/ D (x) dx = § [Q (x) + R (x)/ D (x)] dx = § Q (x) dx + R (x) / Q (x) dx. Nell'addizione dei due integrali, il primo si può calcolare, dal momento che consiste nell'integrale di un polinomio. Invece il secondo rappresenta l'integrale di una funzione razionale fratta con un numeratore di grado inferiore al grado del denominatore.

46

Ad esempio, se andiamo a calcolare la seguente funzione matematica: § x^3 + 2x ^2 + x + 1 / x ^2 + 1 dx. In questo caso il numeratore presenta un grado maggiore del denominatore. Per prima cosa occorre eseguire la divisione (x^3 + 2x ^2 + x + 1): (x ^2 + 1). Questo rapporto può essere effettuato nel seguente modo: [ x ^3 + 2x ^2 + x + 1/ x ^2 + 1 dx = x + 2(-1) / x ^2 + 1. Pertanto, si dovrà andare a calcolare l'integrale: § (x + 2 + (-1) / x ^2 + 1) dx = § x dx + 2 § dx - § 1 /x ^2 + 1 dx = x ^2 / 2 + 2x - arctg x + c. Si può, pertanto, dedurre che gli integrali del tipo § R (x) / D (x) dx, presentano R (x) quale polinomio di primo grado, inferiore rispetto a quello di D (x).

Continua la lettura
56

Vediamo, ora, il caso in cui il numeratore è la derivata del denominatore. Precedentemente abbiamo visto che: § f' (x)/ f (x) dx = ln |f (x)| più C, ossia l'integrale indefinito di una funzione fratta in cui il numeratore è la derivata del denominatore è uguale al logaritmo del valore assoluto del denominatore. Ad esempio, andiamo a calcolare la funzione: § 6x-2 / 3x^2 -2x -1 dx. Si può osservare, in questo caso, che: D (3x^2-2x-1)=6x-2, da cui deriva: § 6x -2 / 3x^2-2x-1 dx = ln |3x"-2x-1| più c.

66

Dobbiamo tenere sempre in considerazione che il Teorema Fondamentale dell’Algebra stabilisce che un polinomio di grado n ammette esattamente n radici nel campo complesso. Questo tipi di proprietà può essere sfruttata per decomporre il polinomio Q (x) in fattori primi irriducibili. Pertanto, le radici di Q (x) possono essere reali oppure complesse coniugate (a due a due), con molteplicità maggiore o uguale a 1. Per concludere, vedremo un esempio in cui andremo a supporre che il polinomio Q (x) ammetta la seguente decomposizione: Q (x) = k (x − α1) ^m1 (x − α2) ^m2... (x − αk) m^k (x^2 + p1x + q1) ^r1... (x^2 + q x + p x + q). A questo punto non ci resta che augurarvi buono studio e buona esercitazione.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come risolvere una disequazione fratta con valore assoluto

Le disequazioni, al pari delle equazioni, forniscono uno strumento irrinunciabile, perché permettono di studiare - e risolvere - molti problemi della matematica: dai più banali ai più complessi. Una disequazione, viene definita tale, quando in una...
Superiori

Come studiare un'equazione fratta

Tra gli argomenti basilari dell'analisi matematica, ovvero quella branca della matematica fondata sul calcolo infinitesimale e sullo studio di funzioni, vi è lo studio delle equazioni. Un particolare tipo di equazione è la "fratta", anche detta "frazionaria"....
Superiori

Come risolvere gli integrali indefiniti fratti

Una categoria di Integrali indefiniti che può creare qualche difficoltà di calcolo è quella degli integrali fratti. La vista di una frazione spesso spaventa gli studenti ma in questa piccola guida dimostreremo che risolvere tali integrali è molto...
Maturità

Domini e condizioni di esistenza

Spesso nell'analisi matematica ci si ritrova a dover determinare i domini delle funzioni, anche detti condizioni d'esistenza. Ma che cos'è il dominio di una funzione? Il dominio di una funzione è l'insieme su cui è definita la funzione, ovvero l'insieme...
Superiori

Matematica: studio del segno e dominio delle funzioni

La guida che verrà esposta in seguito si concentrerà sulla matematica, in quanto vi sarà data una spiegazione logica e più possibile semplificata riguardante lo studio del segno e dominio delle funzioni. La matematica rimane sempre la materia più...
Superiori

Come trovare il dominio nelle funzioni irrazionali fratte

La matematica prevede un numero immenso di regole e formule per risolvere ogni problema presente in questa materia, che spesso è quella che risulta più ostica fra ogni studente di liceo. Un argomento molto conosciuto e approfondito, soprattutto durante...
Superiori

Come risolvere le disequazioni logaritmiche fratte

In questa breve guida vedremo passo dopo passo qual è l'approccio di risoluzione alle equazioni logaritmiche, ed in particolar modo alle equazioni logaritmiche fratte. Ricordiamo che, durante la risoluzione dei vostri esercizi, specialmente se siete...
Superiori

Come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali

In questo tutorial vi vogliamo insegnare, in modo chiaro e semplice, come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali. Tante volte, specialmente tra gli studenti di primo e secondo anno delle superiori potrebbero avere problemi...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.