Come calcolare le basi di un trapezio isoscele

di Girolama Adelfio tramite: O2O difficoltà: facile

In questa guida analizzeremo un comune problema di matematica e, passo dopo passo vi sarà spiegato tutto il procedimento per la sua risoluzione, a partire dalla formula dell'area del trapezio e dal teorema di Pitagora. Il problema ci chiederà come calcolare la misura delle basi di un trapezio isoscele. Vediamo dunque nello specifico come fare.

1 Il problema in questione è il seguente: Dato un trapezio isoscele alto 1,2 dm, che ha il lato obliquo di 15 cm e l'area di 360 cm quadrati, quanto misurano le basi? Come prima cosa bisogna trasformare con un'equivalenza l'altezza (1,2) da decimetri in centimetri per avere la stessa unità di misura per tutte le grandezze: moltiplicando per dieci 1,2 dm diventa quindi 12 cm. La formula dell'area del trapezio è: A=[(b+B) x h]/2, ovvero l'area è uguale alla somma delle basi, minore (b) e maggiore (B), moltiplicata per l'altezza diviso 2. Avendo le misure dell'altezza e dell'area, come in questo caso, si può calcolare la somma delle basi con la formula inversa: (b+B)=(2xA)/h. Nella fattispecie, (b+B)=(2x360)/12=720/12=60 cm. La somma delle basi del trapezio in questione è uguale a 60 cm.

2 Sapendo che il trapezio è isoscele, sappiamo anche che ogni lato obliquo forma un triangolo rettangolo i cui cateti sono l'altezza del trapezio e la parte delle base maggiore che costituisce la differenza con quella minore: trovato questo valore col teorema di Pitagora, troveremo di conseguenza anche le misure delle singole basi del trapezio. Il Teorema di Pitagora stabilisce che la somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti è equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa. Quindi, nominati i vertici del trapezio con le lettere A, B, C e D, e chiamati H e J i punti in cui le altezze incontrano perpendicolarmente la base maggiore AB a partire rispettivamente dai vertici D e C, detti AD e BC i lati obliqui congruenti fra loro e DC la base minore, possiamo dire che il quadrato di AD meno il quadrato di DH dà come risultato il quadrato di AH, ossia (15x15)-(12x12)=225-144=81 cm quadratu. Facendo la radice quadrata di 81, otteniamo che la misura di AH, che è uguale a quella di JB, è di 9 cm.

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3 Pertanto, la base maggiore misura 18 cm in più della minore, 9 cm a sinistra (il segmento AH) e altrettanti a destra (JB).  Sappiamo inoltre che la somma delle basi misura 60 cm: sottraendo da questi i 18 cm di eccedenza della base maggiore rispetto alla minore, si ottiene il doppio della base minore, ossia 60-18=42 cm.  Approfondimento Come calcolare le basi di un trapezio scaleno (clicca qui) La base minore DC pertanto misura 42/2=21 cm, e la maggiore AB 60-21=39 cm.

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