Come calcolare l'area sottostante un arco parabolico

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

La geometria analitica è una di quelle materie che crea sempre molte difficoltà agli studenti. Non è più facilmente risolvibile con delle semplici formule ma occorre ragionarci con estrema attenzione. In realtà basta avere ben chiare poche regole per riuscire a risolvere la maggior parte dei quesiti. Vediamo quindi come calcolare l'area sottostante ad un arco parabolico.

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Occorrente

  • Conoscenze di Geometria Analitica
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Prima di tutto dobbiamo aver ben chiaro cosa si intende per area sottostante ad un arco parabolico. Prendiamo una parabola di equazione generica y=ax^2+bx+c, dove a, b e c sono valori numerici. Prendiamo poi la retta r di equazione y=mx+q e che interseca la parabola nei due punti A e B. Si definisce arco parabolico la porzione di piano sottostante la parabola e delimitata dal segmento AB della retta r. Avremo un arco parabolico retto se la retta r è perpendicolare all'asse delle ordinate e parallela a quella delle ascisse. Si dice arco parabolico obliquo quando invece la retta è obliqua.

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Prendiamo il caso di un arco parabolico retto, ovvero dato dall'intersezione di una parabola con una retta parallela all'asse delle ascisse. In questo caso dobbiamo semplicemente applicare il principio di Archimede. Questo dice che l'area dell'arco parabolico è pari a 2/3 del rettangolo ABDE, dove A e B sono i punti di intersezione tra la parabola e la retta e D e E i punti di intersezione tra la parallela alla retta r tangente alla parabola nel vertice e le perpendicolari alle due rette passanti per A e B.

Continua la lettura
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Il procedimento sarà quindi di trovare le coordinate dei 4 punti A, B, D, E, vertici del nostro rettangolo, calcolarne l’area ed estrarre i suoi 2/3. Tracciare le rette perpendicolari all'asse X in A e B e infine tracciare una retta perpendicolare alle due appena tracciate e tangente alla curva.
L'area si calcolerà con la seguente formula: A = 2/3 Area del rettangolo ABDE.

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Se abbiamo un arco parabolico obliquo il ragionamento è più complesso. Infatti l’area dell'arco si ottiene per differenza tra l’area del trapezio A’B’BA e la somma delle aree dei due triangoli mistilinei S1 e S2. Anche il questo caso la prima cosa da fare è trovare le coordinate A e B di intersezione tra la retta r e parabola e, indicate come A’ e B’ le rispettive proiezioni sull'asse delle ascisse. In questo modo abbiamo da calcolare i vari elementi. L'area del trapezio A’B’BA è pari a 1/2 * (AA’ + BB’) * A’B’. L'area del primo triangolo mistilineo S1 è pari a 1/3 (OB' * BB'). Infine l'area del secondo triangolo mistilineo S2 è pari 1/3 (OA' e AA'). Proseguendo con i calcoli si arriva alla formula generica valida per tutte le parabole di equazione y= ax^2+bx+c. Questa dice che l'area dell'arco parabolico obliquo è pari a 1/6 * a (ascissa di B – ascissa di A)^3.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricordiamoci che il simbolo "^" significa "elevato"
  • Prima di iniziare cercare tutti i dati e scriversi le formule di cui si ha bisogno
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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