Come calcolare la traccia del prodotto di matrici di Dirac

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Se state studiando presso l'università di fisica, molto probabilmente il vostro corso di studi sarà osteggiato dalle matrici di Dirac. Riuscire a calcolare questo prodotto è, infatti, estremamente complesso, e proprio per questo motivo, nei passi seguenti di questa guida ci occuperemo di provare a spiegarvi, passo dopo passo, come si può calcolare la traccia del prodotti di matrici di Dirac. Vi basterà seguire, con estrema attenzione, tutti i passaggi e applicarli alla matrice di cui dovete tracciare il prodotto. In questo modo avrete la possibilità di applicare queste spiegazioni puramente teoriche a livello pratico e risolvere, quindi, il calcolo.

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Occorrente

  • Libro di matematica
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Innanzitutto, la prima cosa che dovrete ricordare è che le matrici y vengono definite come i, e sono pari a 1,2 e 3. Le matrici Dirac sono, infatti, hermitiane e tra loro vale quella che è la relazione di anticommutazione. Pertanto, saranno seguite dalle proprietà delle matrici y. Nelle proprietà generali troverete la regola di anticommutazione, che non vi dovrete in alcun modo dimenticare di far valere e, per riuscire a dimostrare la stessa tramite la verifica diretta dovrete, esattamente per ogni coppia dei valori di indici u e v, dare un valore che sia pari a = 0, 1, 2, e 3.

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La matrice hermitiana sarà y0, proprio perché essa sarà reale e simmetrica, mentre la matrice yi (dove i rappresenta valori = 1, 2 e 3) sarà anti hermitiana. Per poter dimostrare il valore delle matrici, dovrete andare a utilizzare il valore u, conferendo a esso un numero che non sia superiore a massimo 3. Ovviamente, qualora andaste a moltiplicare la relazione tra la matrice destra e quella sinistra, avrete la possibilità di ottenere, anche in versione inversa, dei componenti reali legati a un valore c, e un numero reale che dimostrino la relazione. Potrete anche notare che, andando a eseguire questa operazione, i valori a saranno troncati, ovvero verranno annullati dall'operazione di calcolo della matrice.

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Se tutti i passaggi e i calcoli saranno stati eseguiti correttamente, a questo punto, dovreste aver ottenuto un risultato che è pari a 0. In questo modo potrete quindi riuscire a dimostrare l'identità denominata di Gordon all'interno della vostra matrice di Dirac. Quindi, per poter dimostrare l'identità di Gordon, dovrete andare a utilizzare la matrice ow e il commutatore, in modo tale da riuscire a creare la relazione coniugata, ed esprimere così il valore di u. Per eseguire questa operazione, non dovrete fare altro che andare a sostituire, quindi, il primo membro e in questo modo avrete risolto la matrice di Dirac. Vi consigliamo di eseguire sempre tutti i calcoli anche su un foglio di brutta copia. Considerando, infatti, che si tratta di un calcolo molto complesso, potreste riscontrare tutta una serie di errori nei vari passaggi quindi, eseguendo due copie di questa operazione, potrete accertarvi di ricontrollare attentamente tutti i passaggi e verificare, quindi, che questi ultimi siano corretti una volta che scriverete la bella copia.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Eseguire attentamente tutti i passaggi
  • Eseguire i calcoli prima in brutta e poi in bella copia
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