Come calcolare la media e la deviazione standard

di Ilaria Verderame difficoltà: media

Come calcolare la media e la deviazione standardLeggi La media rappresenta la media aritmetica delle misure del campione a cui siamo interessati. La deviazione standard indica invece la dispersione delle misure sperimentali, è cioè una stima della variabilità di un dato numero di dati. È uno dei modi per rappresentare la dispersione dei dati attorno al valore atteso. Essa ha la stessa unità di misura dei valori presi in esame.

1 Supponi di misurare una certa grandezza che chiameremo x, di aver accertato tutte le sue fonti di errore sistematico e di averle ridotte ad un livello molto trascurabile. Considera inoltre che tutte le sorgenti di incertezza siano casuali, dovrai poterle rivelare ripetendo la misura svariate volte. Potresti, per esempio fare la misura cinque volte, e trovare i seguenti risultati:

51; 52;52; 53; 51.

2 La prima domanda che dovrai porti sarà la seguente: cosa dovremmo considerare come migliore stima xbest della grandezza x? È ovvio pensare che la migliore stima sia la media x dei cinque valori. Cioè:

xbest = xmedio

= 51 52 52 53 51/5

= 51,8

Generalizzando presumi di fare N misure della grandezza x (utilizzando sempre lo stesso metodo) e di trovare N valori x1; x2; %u2026..xn
Nuovamente la migliore stima per x è la media di x1; x2;%u2026..xn.
Vale a dire:

xbest = xmedio

dove:

xmedio = x1 x2 %u2026.. xn/N

= %u2211xi/N

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3 Il concetto di media ti sarà certamente familiare.  Il concetto di deviazione standard può invece risultare meno noto.  Approfondimento Come Valutare La Deviazione Standard Come Incertezza In Una Singola Misura (clicca qui) La deviazione standard delle misura x1; x2; %u2026..xn è una stima della incertezza media delle misure x1; x2; %u2026..xn, e si ottiene come ti spiegherò di seguito.
Dato che xmedio è la migliore stima della grandezza x, è naturale considerare la differenza xi %u2013 xmedio = di.  Questa differenza spesso chiamata "scarto", ti dice quanto la misura iesima x differisce da xmedio.  Se gli scarti di sono abbastanza piccoli, allora le tue misure sono tutte prossime tra loro e sono ragionevolmente molto precise.  Se gli scarti sono ampi, allora le tue misure non sono molto accurate.. 

4 Come calcolare la media e la deviazione standardLeggi Per farti comprendere per bene il significato dello scarto,calcoliamo gli scarti per le cinque misure riportate al punto 2. Potrai elencarle come segue:


Noterai che gli scarti non sono tutti della stessa grandezza; di è piccolo se la misura iesima è vicina a x medio, ma di è grande se xi è lontano da x medio. Noterai che qualcuno dei di sono positivi e alcuni negativi, dal momento che alcuni degli xi sono più grandi di x medio ed alcuni sono più piccoli.

5 Per stimare l'attendibilità media delle misure x1%u2026.x5 potrai naturalmente fare la media degli scarti di. Sfortunatamente, come potrai notare dalla tabella al punto precedente, la media degli scarti è zero. Di fatto questo sarà vero per qualsiasi insieme di misure x1%u2026.xn dal momento che la definizione di x medio assicura che di= xi - x medio è talvolta positivo e talvolta negativo, in modo tale che d=0 . Potrai quindi facilmente intuire che la media degli scarti non è un modo utile di caratterizzare l'attendibilità delle misure x1%u2026.xn.

6 Per evitare questo inconveniente devi elevare al quadrato tutti gli scarti che così formeranno un insieme di numeri positivi e poi mediare questi numeri. Se poi estrai la radice quadrata del risultato, otterrai una grandezza con le stesse unità di x. Questo numero è chiamato deviazione standard ed è denotato da %u03C3x:

%u03C3x= %u221A1/N %u2211(di)2 = %u221A1/N %u2211(xi-xmedio)2

Essa si rivela un utile modo di caratterizzare l'affidabilità delle misure.

7 Come calcolare la media e la deviazione standardLeggi Per calcolare dunque la deviazione standard %u03C3x dovrai calcolare gli scarti di, elevarli al quadrato, mediare questi quadrati e infine estrarre la radice quadrata del risultato:

somma dunque i numeri d2i e dividendo per 5, otterrai la grandezza %u03C32x:
%u03C32x=1/N%u2211d2i= 2,80/5= 0,56
Se estrai la radice quadrata, troverai la deviazione standard:
%u03C3x%u22480,7
Così avrai trovato che l'incertezza media delle cinque misure è circa 0,7.

Come misurare l'incertezza di misura con il tempo Come Dimostrare La Non Distorsione Della Media Campionaria Come Stimare Le Incertezze Nella Lettura Delle Scale Come calcolare il valore medio e l'errore massimo in fisica

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