Come calcolare la media e la deviazione standard

di Giulia Mastandrea difficoltà: media

Come calcolare la media e la deviazione standard La media rappresenta la media aritmetica delle misure del campione a cui siamo interessati. La deviazione standard, o scarto quadratico medio, è un indice di dispersione delle misure sperimentali, è cioè una stima della variabilità di un dato numero di dati. È uno dei modi per rappresentare la dispersione dei dati attorno al valore atteso. Essa ha la stessa unità di misura dei valori presi in esame. In questa guida viene spiegato come calcolare media e deviazione standard.

1 La prima cosa da fare, ovviamente è procurarsi dei dati sui quali lavorare. Questi dati vengono definiti "campione".
Per misurare la media di questi dati, dovete sommare tutti i numeri da analizzare e dividerli per una costante che abbiamo scelto. Ad esempio scegliamo dei numeri e li dividiamo per la dimensione della popolazione.: Media (μ) = ΣX/N, dove Σ è il simbolo di somma (addizione), xi indica ogni singolo numero e N è la dimensione della popolazione.

2 La deviazione standard, altro non è che la distribuzione dei nostri dati. Ad esempio, seguendo l'esempio della popolazione, la deviazione standard ne rappresenterebbe la dispersione.
La formula per calcolarla è: σ = sq rt [(Σ((X-μ)^2))/(N)].

Di seguito troverete esempi più dettagliati sul come calcolarla.

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3 Supponiamo di misurare una certa grandezza che chiameremo x, di aver accertato tutte le sue fonti di errore sistematico e di averle ridotte ad un livello molto trascurabile.  Consideriamo inoltre che tutte le sorgenti di incertezza siano casuali, dovremo poterle rivelare ripetendo la misura svariate volte.  Approfondimento Come Valutare La Deviazione Standard Come Incertezza In Una Singola Misura (clicca qui) Potremmo, per esempio fare la misurazione cinque volte, e trovare i seguenti risultati:

51; 52;52; 53; 51.. 

4 Come calcolare la media e la deviazione standard La prima domanda che da porci sarà questa: cosa dovremmo considerare come miglior stima xbest della grandezza x? È ovvio pensare che la migliore stima sia la media x dei cinque valori. Cioè:

xbest = xmedio

= 51 52 52 53 51/5

= 51,8

Generalizzando presumiamo di fare N misure della grandezza x (utilizzando sempre lo stesso metodo) e di trovare N valori x1; x2; %u2026.. Xn;
Nuovamente la migliore stima per x è la media di x1; x2;%u2026 .. Xn.
Vale a dire:

xbest = xmedio

dove:

xmedio = x1 x2...%u2026 xn/N

= %u2211xi/N

5 Il concetto di media vi sarà certamente familiare. IMentr il concetto di deviazione standard può invece risultare meno conosciuto. La deviazione standard delle misura x1; x2; %u2026.. Xn, è una stima della incertezza media delle misure x1; x2; %u2026.. Xn, e si ottiene in questo modo:
Dato che xmedio è la migliore stima della grandezza x, è naturale considerare la differenza xi xmedio = di. Questa differenza spesso chiamata "scarto", ti dice quanto la misura "iesima" x differisce da xmedio. Se gli scarti "di" sono abbastanza piccoli, allora le nostre misure sono tutte prossime tra loro e saranno ragionevolmente molto precise. Se gli scarti sono ampi, allora le nostre misure non saranno molto accurate.

6 Come calcolare la media e la deviazione standard Per farvi capire meglio il significato dello scarto, calcoliamo gli scarti per le cinque misure riportate nel punto 2. Potremmo elencarle come segue:

Noterete che gli scarti non sono tutti della stessa grandezza; "di" è piccolo se la misura iesima è vicina a x medio, ma di è grande se "xi" è lontano da x medio. Noterai che qualcuno dei di sono positivi e alcuni negativi, dal momento che alcuni degli xi sono più grandi di x medio ed alcuni sono più piccoli.

7 Per stimare l'attendibilità media delle misure x1 %u2026. X5 potrete naturalmente fare la media degli scarti di. Sfortunatamente, come potrete notare dalla tabella dell punto precedente, la media degli scarti è zero. Di fatto, questo sarà vero per qualsiasi insieme di misure x1 %u2026. Xn dal momento che la definizione di x medio assicura che di=xi - x medio è talvolta positivo e talvolta negativo, in modo tale che d=0. Potrete dunque, facilmente intuire che la media degli scarti non è un modo utile di caratterizzare l'attendibilità delle misure x1%u2026. Xn.

8 Per evitare questo inconveniente dovete elevare al quadrato tutti gli scarti che formeranno, così, un insieme di numeri positivi e poi fare la media di questi numeri. Se poi estrarrete la radice quadrata del risultato, otterrete una grandezza con le stesse unità di x. Questo numero è chiamato deviazione standard ed è denotato da x:

x= 1/N %u2211(di)2 = %u221A1/N %u2211(xi-xmedio)2

Essa si rivela un utile modo di caratterizzare l'affidabilità delle misure.

9 Per calcolare dunque la deviazione standard %u03C3x dovrai calcolare gli scarti di, elevarli al quadrato, mediare questi quadrati e infine estrarre la radice quadrata del risultato:

somma dunque i numeri d2i e dividendo per 5, otterrai la grandezza %u03C32x:
%u03C32x=1/N%u2211d2i= 2,80/5= 0,56
Se estrai la radice quadrata, troverai la deviazione standard:
%u03C3x%u22480,7
Così avrai trovato che l'incertezza media delle cinque misure è circa 0,7.

Alcuni link che potrebbero esserti utili: http://it.wikihow.com/Calcolare-la-Media,-la-Deviazione-Standard-e-l%E2%80%99Errore-Standard#La_Media

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